平均について

質問

ア、イ、ウ、エ、オの5人でいちご狩りに行った。最も多く取った人はイで132個、最も少なかった人はウで109個であった。また5人の取った個数の平均は、下のＡ～Ｈのいずれかになった。この中から正しいものを一つ選べ。Ａ108.0
Ｂ109.3
Ｃ113.4
Ｄ118.5
Ｅ124.4
Ｆ126.1
Ｇ127.6
Ｈ135.0

答えはＥです。どなたか教えてください

回答No.4

noname#215361

ANo.3の補足です。
統計的（直感的？）には、答えは明らかにEになるのですが、これだけではご理解頂けなかったようですので、さらに考察してみました。（うまくまとめようとしていたら、前回の回答から大分経過してしまいました。まだ締め切られずに良かったです。）

本題に入る前に、質問文の解釈について触れたいと思います。
「最も多く取った人はイで132個、最も少なかった人はウで109個であった」とは、イとウを除く残りの3人の個数は、110個以上131個以下であったということになり、109個と132個は含まれません。
質問では、「最も多く取った人はイ、最も少なかった人はウ」であったと2人を特定しているので、もしも132個と109個を取った人が複数いた可能性を含ませるのであれば、「最も多く取った人は132個、最も少なかった人は109個であった」になります。
他の方の解釈でも、この質問においては影響ありませんが、例えば選択肢の中に114.0や127.0が含まれていて、質問が「この中から当てはまるものを選べ。（複数選択可)」であった場合には、解釈の違いが影響します。

さて、ここからが本題です。
以上のように解釈すると、
考えられる5人の最少合計は109+110*3+132=571個
この場合、5人の平均は571/5=114.2（便宜的に、これをIとします。）
考えられる5人の最多合計は109+131*3+132=634個
この場合、5人の平均は634/5=126.8（便宜的に、これをJとします。）

答えを導き出すための定石は、次の2通りになります。
(1) 平均で比較する方法
A～Hの中から5倍して整数にならないものを除外し、残りの中でI以上J以下の範囲内にあるものが答え
A～Hの中からI以上J以下の範囲内にあるものを選択し、その中から5倍して整数にならないものを除外した残りが答えとしても同様
(2) 合計で比較する方法
A～Hを5倍して整数にならないものを除外し、残りの中で571個以上634個以下の範囲内にあるものが答え
A～Hを5倍して整数にならないものを除外し、残りの各個数から109+132=241個を引いて571-241=330個以上634-241=393個以下の範囲内にあるものが答えとしても同様

定石通りに(1)の方法で考えると、No.3では先ずAとHを除外しましたが、ここでは取り敢えず5倍して整数にならないBとDとFを除外します。
よって、残るのはAとCとEとGとHになります。
この中で、I以上J以下の範囲内あるものはEだけなので、答えはEになります。
（質問に「正しいものを一つ選べ」とあるので、答えが一つしかないのは当然のことです。）

語弊があるかもしれませんが、これでは簡単過ぎて面白みに欠けるので、考え出したのがANo.3です。
ANo.3において求めた、最も少なかった109個と最も多かった132個の平均120.5を便宜的にKとします。
ここで、IとJの平均を求めると、
（114.2+126.8）/2=120.5
になり、Kと一致しますが、これは単なる偶然ではありません。
では、またIとJを求める式に戻ると、
I=（109+110*3+132）/5
J=（109+131*3+132）/5
これから、
（I+J）/2
=（109+110*3+132+109+131*3+132）/10
=｛109*2+（109+1）*3+(132-1）*3+132*2｝/10
=（109*2+109*3+3+132*3-3+132*2）/10
=（109*5+132*5）/10
=（109+132）*5/10
=（109+132）/2
=K
なお、上の式において、110を109に、131を132にしても、結果は変わりません。
考えられる5人の最少合計の平均Iと、考えられる5人の最多合計の平均Jのさらに平均は、最も少なかった109個と最も多かった132個の平均120.5すなわちKと必ず一致します。

このことから、考えられる5人の最少合計の平均を求めず仮にXとし、考えられる5人の最多合計の平均を求めず仮にYとすれば、必ず（X+Y）/2=Kになります。
この関係を数直線のように表すと、次の通りです。
X―K―Y（KはXとYの平均であり、ちょうど真ん中になります。）
ANo.3において、K-A、H-Kは求めませんでしたが、
A＜C＜K＜E＜G＜Hであることから、
K-C＜K-A、G-K＜H-Kであることは明らかです。
ANo.3において検討したように、Kとの差が最も小さいのはEです。
さらに、ANo.3において、G-Kを求めましたが、E-K＜G-Kであることは明らかなので、G-Kを求める必要はなく、K-Cと E-Kだけを求めれば十分でした。

試験の際には、正確さはもちろんですが、これと併せて速さが必要になります。
ですから、できるだけ速く正解を導き出すためのテクニックを、日頃から身に着けておかなければなりません。
上で触れたように、IとJを具体的に求める必要はなく、仮にXとYとしておけば十分で、最も少なかった109個と最も多かった132個の平均Kが、XとYの平均と必ず一致し、後は「正しいものを一つ選べ」とあって答えは一つしかないので、
X―K―Yの関係から明らかなように、Kとの差が最も小さいE、言い換えるとKに最も近いEが答えになります。
仮に、EがXとYの間に入らなければ、他のものが入ることはあり得ません。（この場合、答えはありません。）
また、Eの他にもXとYの間に入るものがあれば、答えは一つになりません。

以上長くなりましたが、要点を整理すると次の通りです。
(1)5倍して整数にならないB・D・Fを除外
残りは、A・C・E・G・H
(2)109個と132個の平均を計算→120.5（これをKとする）
(3)(1)での残りとKの大小関係を比較
A＜C＜K＜E＜G＜H
(4)Kに近いCとEについて、K-CとE-Kを計算
(5)E-K＜K-Cであるから、答えはE

これでご理解頂けましたか？
なお、最後にお願いですが、これだけまとめるのに結構手間が掛かり（「お前が勝手にやったことだ」と言われればそれまでですが）、これでもまだ不十分な箇所があるかもしれませんので、疑問点がありましたら放置せずに補足質問してください。

お礼

大変 ご丁寧なご説明ありがとうございます。教室で講義を聞いているような大変わかりやすい説明で感謝しております。簡単に解くにいたるまでの長い道のりがあるんですね。テクニックだけをみにつけるだけでなくそれにいたる過程を理解しておくことが数学のおもしろさですね。大変勉強になりました。ちなみにこれはSＰＩという問題集の問題です。まさにいかに正確に速く解く問題ですね。このたびは二度のご回答大変感謝しております。あわせてお返事遅れたことお詫び申し上げます。

回答No.3

noname#215361

最も多かった人はイで132個、最も少なかった人はウで109個であったことから、平均が132個を上回るか109個を下回ることはあり得ないので、先ずはAとHを除外
次に、平均の5倍は整数になるので、さらにBとDとFを除外
残るのは、C113.4とE124.4とG127.6
ここで、最も多かった132個と最も少なかった109個の平均を求めると、
（132+109）/2=120.5
これと、各平均との差を求めると、
Cについて：120.5-113.4=7.1
Eについて：124.4-120.5=3.9
Gについて：127.6-120.5=7.1
よって、Eについての差が最も小さく、これはEの場合にア～オの個数の散らばりが最も小さくなることを意味し、「正しいものを一つ選べ」との大前提があるので、計算するまでもなく答えはE
（もちろん計算すれば明らかです。）

お礼

ご回答ありがとうございます。すぐにお礼をしようとアクセスしたのですが、「お礼」の欄がなくてそのままになってしまいました。大変遅くなり申し訳ありませんでした。

回答No.2

kinokoeringi

2名のりんごの個数と最大値と最小値がわかっているので
一番多く取れるケースの平均は、残り3人が132個取れた場合で、　
(132 + 109 + 132 + 132 + 132) / 5 = 127.4
一番少なく取れるケースの平均は、残り3人が109個取れた場合で、
(132 + 109 + 109 + 109 + 109) / 5 = 113.6
よって答えは 113.6 ~ 127.4の間の D118.5、E124.4、F126.1のどれかとなります

平均値は 総数 / 人数 で求めたものなので、平均値に人数を掛ければ総数になります。
D E Fのなかで、D Fは５をかけると少数になってしまい、いちごの総数が少数になってしまうのはおかしいので、答えはEとなります。

お礼

ご回答ありがとうございます。よくわかりました。こちらもわかりやすいご回答感謝いたします。

回答No.1

noname#231195

まず全員でいくつ採れたのか考えてみます。平均に5をかければ総数が出るはずですね。
A: 540, C: 567, E: 622, G: 638, H:675
ここにあげていないのは5をかけて小数点以下の端数が残っているものです。当然それは対象外ですよね？

次にア、エ、オの取った合計を考えます。上にあげた5人の総数から、イ、ウの分(132+109)を引けばいいです。
A: 299, C: 326, E: 381, G: 397, H:434

この3人の総数ですが、これは
a) 109×3=327ケ より多く
b) 132×3=396ケ より少ない
はずです。というのもア、エ、オが採った数はそれぞれ109ケより多いはずで、132ケより少ないはずだからです。

するとこの条件に合うのはEだけです。

お礼

ご回答ありがとうございます。なるほど。とてもよくわかりました。これはＳＰＩという問題集の問題で解説があったのですがその解説ではわからなかったのでここで質問させていただきました。感謝いたします。