昨日受けた数学検定の問題です

質問

解答を知りたいので、どなたか判る方、宜しくお願い申し上げます。

１)円x^2＋ y^2－6x－8y＋ 20＝０と直線y=mxの交点をP,Qとする。
(1)円と直線がP,Qの２点で交わる時、ｍの範囲
(2)原点をOとする時、OP・OQはｍの値に拘らず一定、その値を求めよ。

２)15^18と18^15の大小比較。小さい方の数の桁数と最高位の数を求めよ。

３)I=∫e^-x(sin2x)dx,　J=∫e^-x(cos2x)dx　(積分区間は何れも０→π／２)
(1)I＝２Jを示せ
(2)I・Jを求めよ

回答No.5

info222_ · ベストアンサー

No.2,No.3です。

ANo.2の補足の解答で3)(2)以外はあっています。
3)(2)はI・J (IとJの積なので解答はIとJを個別に求めるのではなく積I・Jを求める問題かと思います。I, Jの計算そのものはあっています。

ANo.3の3)(2)の解答は誤りでした。
I=(2/5)(1+e^(-π/2))=2Jなので J=(1/5)(1+e^(-π/2))
I・J=(2/25)(1+e^(-π/2))^2=(2/15)(1+2e^(-π/2)+e^(-π)) ...(答)
でした。訂正します。

お礼

色々と詳しくご教示頂き有難うございました。
自信がなかったのですが、これで少し安心出来ました。
感謝致します。

回答No.4

bran111

１)円x^2＋ y^2－6x－8y＋ 20＝０と直線y=mxの交点をP,Qとする。
(1)円と直線がP,Qの２点で交わる時、ｍの範囲
(2)原点をOとする時、OP・OQはｍの値に拘らず一定、その値を求めよ。

(1)
x^2＋ y^2－6x－8y＋ 20＝０　⇒　(x-3)^2+(y-4)^2=5　（1）
接点を(p,q)とすると接線は
(p-3)(x-3)+(q-4)(y-4)=5
原点を通ることから
3(p-3)+4(q-4)=-5 (2)
(p,q)は円(1)上にあるので
(p-3)^2+(q-4)^2=5 (3)
(2),(3)を連立してp,qを求めると
(p,q)=(4,2),(4/5,22/5)
4/2≦m<≦(22/5)/(4/5)　⇒　2≦m≦11/2

(2)
接点をT1,T2とすると
OT1=OT2=2√5
OP・OQ=OT1^2=20

２)15^18と18^15の大小比較。小さい方の数の桁数と最高位の数を求めよ。
logをとって計算する。log2,log5,log3,log7の値を知っていることが前提。

15^18＝1.47×10^21, 18^15=6.75×10^18

３)I=∫e^-x(sin2x)dx,　J=∫e^-x(cos2x)dx　(積分区間は何れも０→π／２)
(1)I＝２Jを示せ
(2)I・Jを求めよ

I=∫e^[-x(sin2x)]dx,　J=∫e^[-x(cos2x)]dxと解釈する。紛らわしいので十分注意してだれにも誤解の無いように式を書くこと。　
K=j+iI (iは虚数単位)を考える。
K=∫ie^[-x(sin2x)]dx+∫e^[-x(cos2x)]dx=∫e^(-x)(cos2x+isin2x)dx
=∫e^(-x)e^(2ix)dx=∫e^(-1+2i)xdx=e^(-1+2i)x/(-1+2i)
=e^(-1+2i)x/(-1+2i)[x:0→π/2]=[e^(-1+2i)(π/2)-1]/(-1+2i)
=[e^(-π/2)×e^(πi)-1]/(-1+2i) (e^(πi)=0)
=-1/(-1+2i)=1/(1-2i)=(1+2i)/(1+4)=(1+2i)/5
=j+iI
J=1/5, I=2/5
(1)I=2J
(2)IJ=2/25

お礼

色々と詳しくご教示頂き有難うございました。
自信がなかったのですが、これで少し安心出来ました。
感謝致します。

補足

書き方が悪くて、申し訳ありませんm(__)m
I=∫(sin2x)e^-xdx, J=(cos2x)e^-xdxです。
そして、IとJを各々求めよと言う問題で、積を求めよではないのですが、これも書き方が悪くて大変失礼致しました。

回答No.3

info222_

No.2です。
答えあわせだけなら
1)
(1)1/2<m<11/2
(2)OP*OQ=20
2)
15^18>18^15
19桁,MSD=6

３)
(1)(部分積分を使えば)I-２J=0
(2)I・J=0

補足

書き方が悪くて、申し訳ありませんm(__)m
I=∫(sin2x)e^-xdx, J=(cos2x)e^-xdxです。
そして、IとJを各々求めよと言う問題で、積を求めよではないのですが、これも書き方が悪くて大変失礼致しました。

回答No.2

info222_

>自分の解答が合っているか、確認したかったものですから。
すでに解答を作られているならヒントも不要ですね。
質問者さんの解答（途中計算を含め）を補足にお書きください。
そうすれば回答者があなたの解答をチェックさせていただきます。

１つの質問での問題数が多すぎるので回答が長くなります。できれば内容が異なる問題は、別件の質問として投稿された方が回答者は解答しやすいと思います。

補足

どうもありがとうございます。
途中計算は長くなるので、端折って、書かせて頂きます。

１)の（１）
円と直線の方程式から、yを消去して、Ｘの方程式にして、２点で交わることから、判別式Ｄ／４＞０と置く。答えは、1/2＜ m ＜11/2
（２）Ｐ（α、mα）、Ｑ（β、mβ）と置いて、OP・OQを求める。
OP・OQ＝αβ（m^2＋１）となるが、（１）で求めたxの方程式で、解と係数の関係から、αβ＝２０／m^2＋１となるので、αβにこれを代入して、答えは２０

２）常用対数を取って、計算する。
log15^18=21.1698 log18^15=18.828 ∴　15^18＞18^15

18^15の桁数は、１９桁

log6=0.7781 log7=0.8450　より、0.7781＜ 0.828＜ 0.8450
∴６＜１０^0.828＜７　よって、最高位の数は６

３）普通に部分積分する
（１）は割愛
（２）Ｊ=1/5(1＋e^-π／２）、I=2/5(1＋e^-π／２)