一番重心が低くなる図形

質問

同じ質量の立方体、円錐、正四角錐、正三角錐を比較した時に一番重心が低くなるのはどれですか？
計算式も教えてください。

回答よろしくお願いします。

回答No.2

tadopikaQ · ベストアンサー

「同じ質量」に加え、「同じ体積」という条件も付くものとして回答します。

先ず、円錐、角錐については、底面積に比して高さが大きい場合は、円錐、角錐を倒した方が重心が低くなります。
これも考慮すると、話がややこしくなるので、ここでは、底面が下になる場合のみを想定します。

円錐、角錐が、底面積に比べて高さが大きい場合は、その重心は高くなり、同じ体積の立方体の方が重心が低くなります。
反対に、円錐、角錐が、高さに比べて底面積が大きい場合は、その重心は低くなり、同じ体積の立方体の方が重心が高くなります。

さて、立方体の重心は、立方体の中心にあります。
それに対して、円錐、角錐の重心は、底面の形に因らず、底面から1/4の高さにあります（この説明は、省略します）。

今、立方体の一辺の長さをaとし、円錐（角錐）の底面積をS、高さをhとします。
立方体と円錐（角錐）の体積が等しいことから、
a^3 = Sh/3 .....[1]
立方体の重心の高さはa/2、円錐（角錐）の重心の高さはh/4ですから、これらが等しい場合は、
a/2 = h/4 .....[2]
[1] [2]より、aを消去すると、
S = 3/8*h^2

このことから、次の結論を得ます。
S < 3/8*h^2 の場合、立方体の重心の方が低い。
S = 3/8*h^2 の場合、立方体の重心と、円錐（角錐）の重心は同じ高さにある。
S > 3/8*h^2 の場合、円錐（角錐）の重心の方が低い。

お礼

お礼遅くなってすみません。
回答ありがとうございました。

回答No.4

chiha2525_

同じ質量で比べた場合、立方体より正多角錐（および円錐）の方が重心を低くすることができます。
が、立方体も（質量＝体積を無限に小さくすることで）無限に重心を低くすることができますので、極値としてはどれも同じになる、とも言えます。

お礼

お礼遅くなってすみません。
回答ありがとうございました。

回答No.3

trytobe

「錐」の高さが立方体と同一である、という条件か、

「錐」の母線（斜面に沿って測った長さ）が底面の直径や辺の長さと等しい、という条件などがないと解けません。

どれだけでも円錐とか「錐」を細く高く作れてしまうので。

お礼

お礼遅くなってすみません。
回答ありがとうございました。

回答No.1

shintaro-2

＞同じ質量の立方体、円錐、正四角錐、正三角錐を比較した時に一番重心が低くなるのはどれですか？

円錐および正四角錐です
他の立体は正○○となってますので
ｍ＝Vを決めた段階で、高さが決定されます。

ところが、円錐および正四角推は高さが決まらないので
底面積を大きくすればいくらでも重心は低くなります。

重心は底面積の高さ方向の変化を利用して
底面積を高さ方向に積分すれば求めることが可能です。

お礼

お礼遅くなってすみません。
回答ありがとうございました。