中2 数学

質問

ある自然数の約数の総和は、120であり、約数の逆数の総和は20/9である。この自然数を求めよ。

この問題がわかりません。どなたか説明してください。お願いします。

回答No.6

noname#215361

ANo.5の補足・訂正です。

上から3行目と4行目
誤：「1+2+3+4」→正：「1+2+3+6」

なお、（ある自然数）*（約数の逆数の総和）=（約数の総和）の関係は、
（ある自然数）が、いくつであっても成り立つ

回答No.5

noname#215361

例えば、ある自然数を6とすると、6=2*3からこの約数は、1、2、3、6
これは、6/1=6、6/2=3、6/3=2、6/6=1と等しい
6/1+6/2+6/3+6/6=6（1/1+1/2+1/3+1/6）=1+2+3+4
この式で、1/1+1/2+1/3+1/6は約数の逆数の総和、1+2+3+4は約数の総和であるから、
求める自然数は、120/（20/9）=54

回答No.4

staratras

ある自然数の約数がn個あるとし、小さい方から順にa1,a2,a3,…anとします。
a1=1 かつ　anはある自然数自身です。
題意から　a1+a2+a3+…an=120 …(1)
1/a1+1/a2+1/a3+…1/an=20/9 　…(2)

ここで(2)の左辺を両端の2項ずつまとめて通分して加えますと
a1*an=an,a2*a(n-1)=an,a3*a(n-2)=an …であることに留意し、
また(1)を代入して
(2)は(1/an)(a1+a2+a3+…+an)=（1/an）*120=20/9
これを解くと　an=54

念のために確認します
an=54=2*3^3 だから　ai+a2+a3+…an=1+2+3+6+9+18+27+54=120
1/a1+1/a2+1/a3+…1/an=1+1/2+1/3+1/6+1/9+1/18+1/27+1/54=20/9
よって題意を満たします。

回答No.3

tadopikaQ

先ず、ある自然数の約数の総和を求めるには、その自然数を素因数分解します。
例えば、ある自然数が、N=1400の場合、Nの約数の総和Sは、
N = 2^3 * 5^2 * 7 より、
S = (1+2+4+8) * (1+5+25) * (1+7)
となります。

又、約数の逆数の総和Tについては、
T = (1+1/2+1/4+1/8) * (1+1/5+1/25) * (1+1/7)
と計算できます。

これを踏まえて、約数の総和が120になるような自然数を探すと、次の4つが見つかります。
N=54 ... S = (1+2) * (1+3+9+27)
N=56 ... S = (1+2+4+8) * (1+7)
N=87 ... S = (1+3) * (1+29)
N=95 ... S = (1+5) * (1+19)

後は、それぞれのNについて、約数の逆数の総和を計算して20/9になるものがあれば、それが答えになります。

回答No.2

gohtraw

この自然数の約数をａ，ｂ，ｃ，ｄ，・・・とすると、約数の逆数の総和は
１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＋１・ｄ＋・・・・
となり、これらを通分した時の分母は
ａ＊ｂ＊ｃ＊ｄ＊・・・・
となります。そして約分をした結果が20/9なのだから、
ａ＊ｂ＊ｃ＊ｄ＊・・・・
は３を素因数として持つことが判ります。従って、元の自然数は３の倍数です。

一方、約数の総和が１２０なのだから、元の自然数は明らかに１２０未満の
和です。よって、１２０未満の３の倍数の中から条件を満たすものをさがせば
いいのではないでしょうか。

回答No.1

Hachi_Hoshino

具体的にどこがわからないんですか？
それともただのカンニングですか？
補足してください

補足

やり方は知っていますが、そのやり方の意味がわかりませんでした。説明不足ですみません。