AB+BC+CAが平方数となる表示
AB+BC+CAが平方数となるような整数A、B、Cの表示はどうなるのか
というのが質問内容です。
どうしてこのような疑問を思ったかというと
デカルトの円定理の関係式(不定方程式)の整数解
http://okwave.jp/qa/q7341028.htmlをみて
疑問に思ったのですが、うえの質問によれば半径a,b,cの3つの円が
それぞれ外接していて、その外側に半径dの4つ目の円が接しているときは
2(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 1/d^2) = (1/a + 1/b + 1/c - 1/d)^2
が成り立ち,任意の整数 α＞β≧γ＞０ に対して、
λ＝２αβγ（α＋β）－αβ（αβ－γ^2）－γ^2（α＋β）^2
とし、
ａ＝λα（αβ－γ^2）、ｂ＝λβ（αβ－γ^2）、ｃ＝λγ^2（α＋β）
ｄ＝αβγ2（αβ－γ^2）（α＋β）
とおくと、 2(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 1/d^2) = (1/a + 1/b + 1/c - 1/d)^2
を満たすそうです。
曲率で考えるとA=1/a,B=1/b,C=1/c,D=1/dとすると
2(A^2+B^2+C^2+D^2)=(A+B+C-D)^2 つまり
A^2+B^2+C^2+D^2+2(A+B+C)D-2(AB+BC+CA)=0
これをDについての二次方程式と思ってとくと
D=-(A+B+C)±2(AB+BC+CA)^(1/2)
だからAB+BC+CAが平方数で表されるよう様な整数A,B,C
があるとDも整数となり曲率の整数解ができると思うのです。上で得られた半径の整数解
を参考にして逆数を取って考えると次のような解がAB+BC+CA＝平方数をみたすと思います。
整数 α＞β≧γ＞０として
A=αγ^2（α＋β）、
B=βγ^2（α＋β）、
C=αβ（αβ－γ^2）で
AB+BC+CA=α^2β^2γ^2（α＋β）^2と平方数になります。
質問は２点です。
(1)このようなA、B、Cの表示をどのようにもともとめたらいいのか、
(2)ほかにもAB+BC+CAが平方数となるようなA、B、Cの表示があるのか
という２点です。
もしご存知でしたらおしえてください。
よろしくお願いいたします。
