三角形ABCの内接円と、AB,BC,CAとの交点をそれぞれX,Y,Zと

質問

三角形ABCの内接円と、AB,BC,CAとの交点をそれぞれX,Y,Zとします。このとき、AYとBZとCAが一点で交わることを示したいのですが、よくわからないので、数学が得意な方、お願いしますm(..)m

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

ベクトルが分からないとなると・・・
xy座標で計算してみましょうか。

内接円の半径を１として、内接円の中心をxy座標の原点に辺BCをx軸に平行になるように置くと、
各点の座標は、
B(-1/tan(∠B/2),-1)
C(1/tan(∠C/2),-1)
X(-sin(∠B),cos(∠B))
Y(0,-1)
Z(sin(∠C),cos(∠C))
点Aの座標は、直線BXと直線CZの交点なので計算可能です。

あとは直線BZと直線CXの交点と直線BZと直線AYの交点を求めて、それが一致することを示せばいいですが、
かなり面倒でしょうね。

お礼

ありがとうございます(ぺこり)

因みに、
>あとは直線BZと直線CXの交点と直線BZと直線AYの交点を求めて、それが一致することを示
すにはどうすればいいのか教えていただける方、募集中です。m(_.._)m

回答No.2

nag0720

3線が交わる点をジェルゴンヌ点といいます。

こういう問題はベクトルで証明するのが常道でしょう。

ベクトルABを単にABと表します。

|AX|=|AZ|=a、|BX|=|BY|=b、|CY|=|CZ|=cとすると、
AY=(bAC+cAB)/(b+c)
BZ=(cBA+aBC)/(a+c)
CX=(aCB+bCA)/(a+b)
直線AYと直線BZの交点をGとし、
AG=sAY、BG=tBZ
とすると、
AG=AB+BG
より、
s(bAC+cAB)/(b+c)=AB+t(cBA+aBC)/(a+c)
=AB+t(-cAB+a(AC-AB))/(a+c)
=(1-t)AB+atAC/(a+c)
よって、
cs/(b+c)=1-t
bs/(b+c)=at/(a+c)
これを解くと、
s=a(b+c)/(ab+bc+ca)
t=b(a+c)/(ab+bc+ca)

CG=CB+BG=CB+b(a+c)BZ/(ab+bc+ca)
=CB+b(cBA+aBC)/(ab+bc+ca)
=CB+b(c(CA-CB)+aBC)/(ab+bc+ca)
=c(aCB+bCA)/(ab+bc+ca)
=c(a+b)CX/(ab+bc+ca)

よってGは直線CX上にある。

お礼

ありがとうございます。

でもごめんなさい、ベクトルはよくわからないのですが…。

出来れば中学生レベルでお願いできますか。

回答No.1

dolche0707

CAではなくてCXではないかと思われますが、そうだと仮定してコメントさせていただきます。
内接円の定義及び作図法をもう一度確認してみてください。

なおこの3線が交わる点を内心と呼びます。

補足

ハイ、そうです。すいません。CXですね。

要は、内心から下した垂線の足とその辺の対頂点(?)を結ぶ直線は1点で交わるということを聞いています。

定義、作図法がどーたらということは今私は聞いておりません。