連続性の問題

質問

ｆ(x)={2^(1/x)-2^(-1/x)}/{2^(1/x)+2^(-1/x)} (x≠0)
　 =0 (x=0)

の連続性を調べる問題なのですが、解けません…
x=0以外の所の連続性も調べる必要があるみたいなんですが…
お願いします。

回答No.2

waseda2003 · ベストアンサー

2^xや1/xは初等関数（連続性は認められる）ですから，
その合成関数の連続性は，x=0以外の定義域内では
「定理より」で片付けてよいと思います。
（一応，定理は確認しておいて下さい。）

x=0における連続性については，x→0のとき1/xの
左極限と右極限が異なることより場合分けが必要で，

lim_(x→+0)ｆ(x)
= lim_(x→+0){1-2^(-2/x)}/{1+2^(-2/x)}
= 1

lim_(x→-0)ｆ(x)
= lim_(x→-0){2^(2/x)-1}/{2^(2/x)+1}
= -1

より lim_(x→0)f(x) は収束しないことがわかります。

なお，x=0以外で分母が０になるxがあるとすれば，
そのときのxは定義域外ですから，
そこで連続性を調べる必要はありません。
（x=0ではf(x)の値が定義されています。）

お礼

回答ありがとうございます。
なんとか理解することができました。

回答No.1

noname#24477

指数関数は連続ですから、分母が０になるところだけ
調べればよい。

2^(1/x)+2^(-1/x)　の部分です。しかしこれは正なので
０にならない。
結局ｘ＝０のときだけ調べればよい。

ｘ→＋０のときとｘ→－０のときを別々にして
f(x)→０になるかどうかを考えればよい。

（結論は、なりません。）

お礼

ありがとうございます。
ｘ＝０の時だけでいいんですね。
助かりました。