解析学で一様連続の問題がわかりません

質問

f(x)はI=[a,b)で連続とする。f(x)が一様連続ならば、lim[x→b-0]f(x)が存在することを示せ。

0<b-x<δ

の作り方がわからず、困ってます。

どなたか解説お願いいたします。

回答No.1

ramayana

δを正の数として、 x と y が |x - y| < δの範囲で動くときの |f(x) – f(y)| の上限を sup[δ]|f(x) – f(y)| と記すことにします。 関数f(x) が一様連続とは、δが 0 に近づくときのこの上限の極限が 0 であるということ、すなわち、

lim[δ→0](sup[δ]|f(x) – f(y)|) = 0

ということです。

ご質問の件ですが、実数の完備性を使います。 b に左から近づく無限数列 x1, x2, … を考えることにより、次の方針で証明できます。

(1)　　f(x) の一様連続性により、 f(x1), f(x2), … はコーシー列であることを示すことができる。よって、実数の完備性により、 f(x1), f(x2), … は極限値をもつ。

(2)　　次に、上の極限値が x1, x2, … の選び方によらないことを示せば、証明が完結する。