円の途中で切った面積の出し方教えて下さい

質問

半径250mmの円があります。
その円弧から中心に向かって200mmの所で切ります。
そこで切られた面積を求めたいのですが。
説明しづらいので以下のＨＰ見て頂ければと思います。
http://www.geocities.co.jp/HeartLand-Himawari/4171/gif/kim.jpg
単純な質問なのかもしれませんが宜しくお願い致します。

回答No.2

hero1000 · ベストアンサー

切り口の弦の両端と中心を結ぶ直線と、切り取られた部分の円弧から成る扇形の
面積から、切り口の弦とその両端から中心への直線から成る三角形の面積を引け
ば出てきます。

中心をＯ、弦の両端をそれぞれＡ,Ｂ、中心から弦に引いた垂線と弦の交点をＭ、
その延長が円弧と交わる点をＣとおき、求める面積をＳとします。
ＯＡとＯＢの長さは半径と等しいので250mm、ＭＣの長さは題意より200mmなので
ＯＣの長さは50mmです。

扇形ＯＣＢの中心角をθとすると、cosθ＝50/250＝1/5になります。・・・(1)

扇形ＯＣＢの面積は、250^2×π×(θ/360)ですから、扇形ＯＡＢの面積は
　2×250^2×π×(θ/360)・・・(2)

ＭＢの長さは三平方の定理より100√6なので、ＡＢの長さは200√6
（円の中心から弦に引いた垂線は、弦を２等分するので）
よって三角形ＯＡＢの面積は50×200√6×0.5＝5000√6　・・・(3)

したがって求める面積Ｓは(2)と(3)から
　Ｓ＝125000π×(θ/360) - 5000√6　・・・(4)

さて、(1)からθは約78.46度ですので、
　Ｓ≒125000×3.1416×0.2179 - 5000×2.4495
　　＝85569.33 - 12247.5
　　＝73321.83

よって、Ｓ＝73321.83です。単位は平方ミリです。

お礼

詳しく書いて頂きとても参考になりました。また何かありましたら宜しくお願い致します。

回答No.3

Haru-sun

#1　Haru-sun　です

> sin(A/2)=50/250

やってしまいました。
hero1000さんのとおり，cosでした・・・

回答No.1

Haru-sun

私なら

弦と円弧の接点（２ヶ所）と中心を結んでできる扇形から，三角形の面積を引こうかなぁ。。。

扇形の中心角（？）をAとすると
　sin(A/2)=50/250
となるので，これからAを求めて・・・

お礼

早速の回答ありがとうございます。参考にさせて頂きます。