円の切れ端の面積の計算方法を教えてください

質問

図が描けないのでなんとも説明が難しいのですが、円の切れ端の面積の
計算方法を教えてください。半径４００ｍｍの円があります。
その中心に直線を引くと半分の面積の計算は分かりますが、それでは中心から少しずれたところに水平の線を引いて（図でみた場合中心から少し上でも下でもいいですが）その面積の計算方法が分かりません。
何年か前に微分で求めるとかいうのをテレビでみたのですが、私は微分なんかに全く縁が（円が）ありません。しゃれてる場合じゃありませんが。
確か、誤差は限りなく０であるからどうのこうのと言ってました。
どなたかお分かりの方おりましたら、数学落ちこぼれに分かるような
説明をしていただけませんでしょうか。興味半分の質問ではなくて仕事で使います。どうぞよろしくお願いします。

回答No.5

MSZ006 · ベストアンサー

エクセルの計算式で表すと

=400^2*ACOS(ｘ/400)-ｘ*SQRT(400^2-ｘ^2)

です。ｘ=100 の場合の計算結果は

172168.738　(mm2)

となりました。

お礼

教えてもらう立場で贅沢言ってすみませんでした。
計算順序が間違っていたようで苦労しましたが、やっとエクセルの計算結果が一致しました。この式は大切に保管させていただきます。
どうもありがとうございました。

回答No.4

guiter

下での回答の式に、r=400(mm)、a=100(mm) を代入すると、
　Ｓ= 400^2・Arccos(100/400) - 100・√(400^2-100^2)　(mm^2)
　　= 400^2・1.31811 - 100^2・√15
　　= 172168
　　≒ 1.72×10^5 (mm^2)
となりました。
有効桁数は 400(mm) などに合わせて３桁としています。

＞エクセルで計算する場合、√はなにを使えばいいのでしょうか。
私はエクセルは使わないので間違っているかもしれませんが、
sqrt ではないでしょうか？

お礼

guiterさんどうもありがとうございました。
途中の計算方法も書いていただいて大変助かりました。
苦労しましたがお陰さまで計算結果が一致しました。
教えていただいた式は大切に保管します。
それにしても世間には頭のいい人がいるんですね。
家の馬鹿息子の家庭教師に迎えたいくらいです。
どうもありがとうございました。

回答No.3

MSZ006

円の中心からｘ(mm)離れたところに直線を引いた場合の面積は、

400^2・cos^-1(x/400)-x・√(400^2-x^2)　(mm2)

cos^-1はcosの逆関数(アークコサイン)のことです。
√は後ろの括弧全体にかかっています。
^2は２乗のことです。

仕事で使われるということなので、この式に数値を当てはめて関数電卓などで計算できると思います。

補足

ＭＳＺ００６さんありがとうございます。
マシントラブルで返事が遅れましたことお詫びします。
エクセルで計算する場合、√はなにを使えばいいのでしょうか。
アークコサインは見つかりましたが√がわかりません。
お手数ですがよろしくお願いします。
１００ｍｍ離れたところに線を引いた場合の答えも教えていただけると
大変助かります。

回答No.2

guiter

C_ran さんの仰るように扇形から三角形を引き算するか
あるいは積分を用いて求めると

Ｓ = r^2 * Arccos(a/r) - a√(r^2 - a^2)

となります。
ここで、r^2 は半径 r の２乗、a は円の中心と中心からずれたところにひいた直線の距離、
θ = Arccos(a/r)とすると cosθ = a/r です。

回答No.1

noname#6248

考え方を一つ。
ずれた直線に平行で中心点を通る直線を引く。
ずれた直線の端と中心点を直線で結ぶ(２本)
この図形を見ると、半円と扇形２つと二等辺三角形になりますよね？
ココから答えは出せるのでは？
ずれた直線の長さが解る場合のみこの方法で解けるのですけどね…

お礼

Ｃ_ranさん、びっくりしました。
この考えが浮かんでいたら私にも解けたはずで、ちょっと悔しいです。
昔習った「補助線を引いて・・・」というやつですね。
Ｃ_ranさんのヒントを元に、２つの扇方と半円の面積の合計を角度から求めて（角度/360）その値から二等辺三角形の面積を引いてもできそうです。
どうもありがとうございました。