解説お願いします！

質問

xについての二次方程式x^2-(a-1)x+a+6=0が次の解をもつように実数aの値の範囲をそれぞれ定めよ。
(1)1つの解は2より大きく、他の解は2より小さい。

この問題なのですが、2つの解をα、βとするとき
αβ>0,(a-2)(β-2)<0となるのはなぜですか？？

回答No.2

noname#215361

f（x）=x^2-(a-1)x+a+6とすると、これは下に凸であるから、1つの解が2より大きく、他の解が2より小さくなるためには、
f（2）=2^2-2(a-1)+a+6=-a+12＜0であればいいので、これからa＞12

2つの解をα＞2、β＜2とすると、

αβ＞0であるためには、α＞2であるからβ＞0であればいい
a＞12であるからf（0）=a+6＞18
よって、β＞0でありαβ＞0

α＞2からα-2＞0、β＜2からβ-2＜0
よって、（α-2）（β-2）＜0

回答No.1

gohtraw

（あ）(α-2)(β-2)<0となる理由
問題文より、1つの解は2より大きく、他の解は2より小さいのだから、
大きい方の解から２を引いたものは正の値をとり、
小さい方の解から２を引いたものは負の値をとります。
(α-2)(β-2)は上記二つの値の積なので、負の値をとります。

（い）αβ>0となる理由
1つの解は2より大きく、他の解は2より小さいことから、
x=2のときx^2-(a-1)x+a+6の値は負になります。
つまり、
4-(a-1)*2+a+6<0
-a+12<0
12<a

一方、解と係数の関係から
αβ=a+6
なので、
αβ>18