三角関数の基本極限について

質問

ふたたびの微分積分という本で学習していてわからないところがあり困っています。
Ｐ１３１ページ
https://books.google.co.jp/books?id=tu6MBQAAQBAJ&pg=PA127&lpg=PA127&dq=%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0+%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E6%A5%B5%E9%99%90&source=bl&ots=fnWp8NRjuM&sig=QbscBtwmPaCKNpi64v-ClbFOkzY&hl=ja&sa=X&ei=Bu_AVOnuHMHsmAXDhoDQCw&ved=0CEoQ6AEwBzgK#v=onepage&q=%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%20%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E6%A5%B5%E9%99%90&f=false

sinXやcosXの微分に必要な基本極限に
lim　　1-cosθ/θ^2 　＝1/2
θ→0　
（わかり辛くてすいません）
(1-cosθ)/θ^2の極限＝1/2
が突然本に現れました。

これは、どの様に導かれたのでしょうか？
参考になるサイトなどあればうれしいです。
よろしくお願いいたします。

回答No.3

ki-inage

(1-cosx)/x^2は分子は
１-(1-2sin(x/2)xsin(x/2)）
＝２sin(x/2)xsin(x/2)です。
故に
２sin(x/2)xsin(x/2)のx/2
をｙとします。即ちｙ=x/2です。

よって分子は２sinyxsiny　分母は４y^2
です。現式は
2sinyxsiny/4y^2となります。これは1/2siny/yxsiny/y（１）となります。すなわちxが０に近づくとｙが0に近づきます。ですからｙが０に近づくとsiny/yは１になります。よって（１）は1/２になるのです。この場合文字を置き換えると解りやすくなります。

回答No.2

spring135

任意のθについて

cosθ=1-θ^2/2+θ^4/24-θ^6/120+....

となることがティラー展開という方法により示されます(url参照)。実際にこの式はコンピューター

プログラムに組み込んで使うことができます。

θが小さいとき

cosθ=1-θ^2/2

で代用できます。

すると

1-cosθ/θ^2=1/2

が出てきます。

もっとまともにやるには任意のθについて成り立つ

cosθ=1-θ^2/2+θ^4/24-θ^6/120+....

を用いて

lim(θ→0)[1-cosθ/θ^2]=lim(θ→0)[1/2-θ^2/24+θ^6/120...　]＝1/2

とすることができます。

参考URL：

http://chaosweb.complex.eng.hokudai.ac.jp/~josch/workshop/math/Maclaurin/Maclaurin1.htm

回答No.1

gohtraw

(1-cosθ)/θ^2=(1-cosθ)(1+cosθ）/（θ^2（1+cosθ））
　　　　　　　　　　=(1-（cosθ)^2)/（θ^2（1+cosθ））
　　　　　　　　　　=(sinθ)^2/（θ^2（1+cosθ））
　　　　　　　　　　=（sinθ/θ）^2/（1+cosθ）
θ→0のとき、
（sinθ/θ）^2→1
1+cosθ→２
なので、求める極限は1/2となります。

補足

回答ありがとうございます。
1/2という回答にはたどり着けるのですが、
(1-cosθ)/θ^2がどの様に定義されたものなのかが、理解できません。

何かから導かれたものなのか、定義なのか…。
もうひとつ必要な基本極限ということで、突然現れたので、出所を探しています。
よろしくお願いいたします。