電場

質問

問題が解けなくて困っています。

真空中で長い直線上の点Aにq(>0)、同じ直線上でAからLだけ離れたBに4qの点電荷がおかれている。
第三の電荷q´を導入してすべての電荷に働く力が0となるようにしたい。
q´を置く点Cの位置とq´の大きさを求めよ。

解答：点CはL/3の位置で、q´＝-4q/9

導出の仕方がわからず困っています…解説お願いします。

回答No.2

SKJAXN · ベストアンサー

点A、Bに置いた電荷が共に正であり、その電気力線は共に点電荷からの湧き出しとなりますので、点Aから見て点Bの向う側、または点Bから見て点Aの向う側においては、各電荷の電気力線の向きが一致しますので、点Aと点Bが作る合成電場が0になる位置は存在しません。
よって、電気力線の向きが相反する点A、Bの間に合成電場が0となる位置、すなわち点Cが存在します。
その位置を、点Aから点Bへ向けて距離x（0＜x＜L）とおきます。
点Aが点Cに作る電場E(A→C)は、クーロンの比例定数をkとおくと、
E(A→C)＝k*q/(x^2)
点Bが点Cに作る電場E(B→C)は、
E(B→C)＝k*(4*q)/((L－x)^2)
これらの方向は相反するので、点Cにおける合成電場Ecは、
Ec＝E(A→C)－E(B→C)
であり、これが0になるため、
E(A→C)＝E(B→C) ⇔ 1/(x^2)＝4/((L－x)^2) ⇔ 1/x＝2/(L－x)　（∵　0＜x＜L）
よって、x＝L/3
と求まります。これは点Bから点Aへ向けて2/3*Lの位置です。（※　この位置に何クーロンの点電荷を置いても、合成電場が0であるため点電荷には力が働きません）

次に、点Cに電荷q'（ここでは正と仮定しておきます）を置いた際の点Cが点Aに作る電場E(C→A)は、
E(C→A)＝k*q'/((L/3)^2)＝9*k*q'/(L^2)
また点Bが点Aに作る電場E(B→A)は、
E(B→A)＝k*(4*q)/(L^2)
点Aにおける合成電場Eaが0になれば、点Aに置いた点電荷に力が働かなくなるため、
Ea＝9*k*q'/(L^2)＋4*k*q/(L^2)＝0
よって、q'＝－4/9*q
と求まります。

最後に、点Bに置いた点電荷に力が働かないことの確認です。
点Cが点Bに作る電場E(C→B)は、
E(C→B)＝k*(－4/9*q)/((2/3*L)^2)＝－k*q/(L^2)
点Aが点Bに作る電場E(A→B)は、
E(A→B)＝k*q/(L^2)
点Bにおける合成電場Ebは、
Eb＝E(C→B)＋E(A→B)＝0
となり、点Bに置いた点電荷には力が働かないことが分かります。

※　着目点における合成電場を求める際に、着目点に置いた（または置く予定の）点電荷を考える必要はありません。点電荷に作用する力の計算とごっちゃになって、合成電場の計算ができなくなるケースを見掛けますので、ご留意下さい。

お礼

解説ありがとうございます！
納得できました。

回答No.1

atomonados

yoguru123さん、こんばんは。電場ではなく合力＝0で解きました。図はうまく書けませんでしたが、参考にしてください。あまり自身はありません。

＞真空中で長い直線上の点Aにq(>0)、同じ直線上でAからLだけ離れたBに4qの点電荷がおかれている。

・・・・・ A←───────L───────→B　　　　
・・・────┼─────────────────┼───────・・・
・・・・・・q(>0) ・・・・・・・・・・4q(>0)

＞第三の電荷q´を導入してすべての電荷に働く力が0となるようにしたい。

つまり、第三の電荷q´を導入したら、三つの電荷は静止して力がつり合っている状態になると考えられる。

このとき、q´>0であれば、すべての電荷同士には斥力がはたらき分散して静止しないことは明らか。したがって、q´<0でなければならない。

そこでq´<0として、これを置く位置を考える。これは直線AB上に置く場合と、直線AB外に置く場合のほかは考えられない。

直線AB外に点Cをとって電荷q´<0を置くと静止すると仮定すれば、Aのqには、Cのq´<0から引力、Bの4qから斥力が働き、それらの向きは同一線上にはないので力はつり合わず、静止しない。これは仮定と矛盾する。背理法により、直線AB外で静止することはない。つまり三電荷は、直線AB上でつり合い、静止するはずである。

さらに、直線AB上に置く場合を場合分けする。点Aを原点として、Bの向きを正とする数直線で、原点Aからdの位置にCを置けばつり合って静止するとする。

[1]　C,A,Bの順の場合。

・C←─d─→
・・・・・・A←───────L───────→B　　　　
・・・────┼─────────────────┼───────・・・
・q´(<0)・q(>0) ・・・・・・・・・・ 4q(>0)

点Aの電荷は、点Cの電荷からの引力と点Bの電荷からの斥力を受けるが、その向きはどちらも負の方向になり、合力は0にならない。

[2]　A,B,Cの順の場合。

・・・ ・・・ ←─────────d───────────→C
・・・・・・A←───────L───────→B　　　　
・・・────┼─────────────────┼───────・・・
q(>0) 4q(>0) 　q´(<0)

これは、点Bの電荷に着目すれば、上と同様、点Cの電荷からの引力と点Aの電荷からの斥力を受け、その向きはどちらも正の方向になり、合力は0にならない。

したがって考えられるのは次の場合だけである。

[3]　A,C,Bの順の場合。(d>0,　L-d>0)

・・・ ・・・ ←─d─→C
・・・ ・・・ A←───────L───────→B　　　　
・・・ ────┼─────────────────┼───────・・・
・・・・・ q(>0) ・ q´(<0)・・・・・ 4q(>0)

点Aの電荷には、点Bの電荷から斥力(負の方向)と点Cの電荷から引力(正の方向)がはたらき、その合力は、kを比例定数、左向きを正として、

　　　k(4qq/L^2)＋k(qq´/d^2)＝0

　　　　∴　　　q´＝－4q(d/L)^2　　　　　　　　…　(1)

点Cの電荷には、点Aの電荷から引力(負の方向)と点Bの電荷から引力(正の方向)がはたらき、その合力は、左向きを正として、

　　　k(qq´/d^2)－k(4qq´/(L-d)^2)＝0

　これから、

　　　　　1/d^2＝4/(L-d)^2

　　　　　((L-d)/d)^2＝4

　(L-d)/d>0より、

　　　　　　(L-d)/d＝2

　　　　　　　L/d＝3

　　　　　　　d/L＝1/3　　　　　　　　…　(2)

　　　　　　　d＝L/3　　　　　 　　　…　(3)

(2)を(1)に代入して、

　　　　　q´＝－4q(d/L)^2　＝－4q/9　　　 　　　…　(4)

したがって、(3)より、

　点Cは点Aより点Bの向きにL/3の位置で、

(4)より、

　電荷q´の大きさは、－4q/9である。

・

お礼

図まで丁寧に書いていただいてありがとうございます！
わかりやすかったです！