データの分析 118

質問

nを2以上の自然数とする。次の問いに答えよ。
(1)変量xの値がx(1),x(2),・・・,x(n)であるとし
f(a)=1/nΣ[k=1,n](x(k)-a)^2
とする。f(a)を最小にするaはx(1),x(2),・・・,x(n)の平均値で、そのときの最小値はx(1),x(2),・・・,x(n)の分散であることを示せ。
(2)cを定数として、変量y,zのk番目のデータの値が
y(k)=k(k=1,2,・・・,n),z(k)=ck(k=1,2,・・・,n)
であるとする。このときy(1),y(2),・・・,y(n)の分散がz(1),z(2),・・・,z(n)の分散より大きくなるためのcの必要十分条件を求めよ。
(3)変量xのデータの値がx(1),x(2),・・・,x(n)であるとし、その平均値をxバーとする。新たにデータを得たとし、その値をx(n+1)とする。x(1),x(2),・・・,x(n),x(n+1)の平均値をx(n+1),xバーおよびnを用いて表せ。
(4)次の40個のデータと平均値、分散、中央値を計算すると、それぞれ、ちょうど40,670,35であった。
120,10,60,70,30,20,20,30,20,60
40,50,40,10,30,40,40,30,20,70
100,20,20,40,40,60,70,20,50,10
30,10,50,80,10,30,70,10,60,10
新たにデータを得たとし、その値が40であった。この時、41個のすべてのデータの平均値、分散、中央値を求めよ。ただし、得られた値が整数でない場合は、少数第1位を四捨五入せよ。

この問題を解いてください。お願いします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

(1)
以降、xの平均値をx*のように表記する。
f(a) = a^2 - 2 { (1/n) Σ(k=1,n) x(k) } a + (1/n) Σ(k=1,n) { x(k) }^2
= a^2 - 2 x* a + (x^2)*
このaの二次関数を平方完成する。
f(a) = (a - x*)^2 + { (x^2)* - (x*)^2 }
よってf(a)を最小にするaはx*であり、そのときの最小値は (x^2)* - (x*)^2 すなわちxの分散である。

(2)
任意のkに対して z(k) = c * y(k) なので
分散s^2について
{ s(z) }^2 = c^2 { s(y) }^2
が成立する。よってyの分散がzの分散より大きくなる条件は
c^2 < 1 より
-1 < c < 1 である。

(3)
データn個のときの平均値をx*とし、データが(n+1)になったときの平均値をx**と表記する。
x** = { 1/(n+1) } Σ(k=1,n+1) x(k)
= { 1/(n+1) } { Σ(k=1,n) x(k) + x(n+1) }
= { 1/(n+1) } { n x* + x(n+1) }

(4)
平均値について
(3) の結果を用いて
x** = (1/41) { 40 x* + 40 } = x* = 40

分散について
データ40個のときの分散が670なので
(1/40) Σ(k=1,40) { x(k) - 40 }^2 = 670…①
が成立している。
41個目のデータを加えても平均値は40のままであるから、データが増えたあとの分散は
(1/41) Σ(k=1,41) { x(k) - 40 }^2
= (1/41) [ { Σ(k=1,40) { x(k) - 40 }^2 + { x(41) - 40 }^2 ]
= (1/41) { 670 × 40 + 0 }
= 653.6 … → 654

中央値について
はじめの40個のデータはすべて10刻みの値であり「30」「40」というデータはある。ここで、中央値が35であることから、データ40個を小さい順に並べたとき20番目が30であり、21番目が40であることがわかる。
ここに新しいデータ「40」を一個加えると、計41個のデータの中央値は小さい方から21番目の値「40」となる。

お礼

詳しくありがとうございました。