確率の問題です

質問

ある空港で9/10の確率で麻薬を探知できる麻薬捜査犬が10匹いるとして、
100個の荷物が運ばれてきてその中の1/3が麻薬だとすると人間が無作為に選ぶと1/3の確率で麻薬だけれど
麻薬捜査犬を使い10匹全部が一つの荷物に反応したとすると、その荷物が麻薬である確率はどうなるのでしょうか、また2匹を使い2匹とも一つの荷物に反応した場合よりもその荷物が麻薬である確率は高いのでしょうか？
下手な文章で申し訳ないですがご回答お願いします。

回答No.4

rx178z · ベストアンサー

10頭全部が麻薬だと反応して、その荷物が麻薬ではない確率は、10頭全部が間違う確率です

1頭が間違う確率は、1/10
10頭全部が間違う確率は、1/10^10
その荷物が麻薬ではない確率は、1/10^10

逆に、その荷物が麻薬である確率は、
1-1/10^10
となります

2頭の場合は、2頭とも反応して2頭とも間違いである確率は、
1/10^2

その荷物が麻薬である確率は、
1-1/10^2
となります

お礼

なるほど全部が間違う確率を引けばよかったのですね
で2頭より10頭が反応したほうが麻薬である信ぴょう性が高いと...
丁寧な回答ありがとうございました！

回答No.3

kamiyasiro

#2です。

投稿後に気が付いたのですが、
#2の回答ですと、全頭が間違えなければ良い、
すなわち、どれかが見つけてくれる確率になりますね。

一方、設問の趣旨は、全頭一致で「ここ掘れワンワン」という状態ですね。

すると集合のベン図でいうと、全部の積集合の部分ですので、
（１－p）^n
になりますね。

こうなると、たとえ本当に麻薬であっても、全頭がワンワン言う確率は、
頭数が増えるたび、低くなって行きますね。

お礼

訂正どうもー
そうですねすべての犬がわんわん言う確率はたしかに低くなりますね
単純に（１－p）^nでいいのですね
ありがとうございました

回答No.2

kamiyasiro

メーカーでSQCの推進を担当する統計家です。

面白い問題ですね。
でも、足りない前提が２つあります。
(1)麻薬探知犬の反応は「独立」かどうか。
(2)麻薬探知犬は麻薬でないものに幾らの確率で反応するか。
です。仮に、
(1)独立
(2)0.1
としましょう。

すると、ベイズの定理により、
（条件付き確率を反応する確率として、）

麻薬かどうかの事前確率＿反応する確率＿周辺確率＿事後確率
麻薬である＿0.333333＿＿＿＿0.9＿＿＿0.30000＿0.818181
麻薬でない＿0.666666＿＿＿＿0.1＿＿＿0.06666＿0.181818
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿周辺確率の和＿0.36666

ここで、
周辺確率＝事前確率×条件付き確率
事後確率＝周辺確率／周辺確率の和
です。

さて、誤認確率をｐ（＝0.181818）とすると、
信頼度は、１－p^n ですので、
麻薬犬が何頭反応するかで、信頼度は向上していきます。
頭数＿＿＿信頼度（麻薬である信頼度）
1＿＿＿＿0.818181818
2＿＿＿＿0.966942149
3＿＿＿＿0.993989482
4＿＿＿＿0.998907178
5＿＿＿＿0.999801305
6＿＿＿＿0.999963874
7＿＿＿＿0.999993432
8＿＿＿＿0.999998806
9＿＿＿＿0.999999783
10＿＿＿＿0.999999961

2頭が反応した場合、3.3％は間違いだ、ということですが、
10頭が反応した場合、殆ど間違いなく麻薬であると言えます。
ただ、最初に書いたように、反応は「連られない」という前提が必要です。

長文、失礼しました。

お礼

ただ単純な確率の問題かと思ったら結構高度に考えないといけないのですねー
検知頭数が増えると麻薬検知の確率はかなり上がるのでは？と思い投稿しましたが
10頭目でかなりの確率になるのですね
丁寧な回答有難うございました

回答No.1

shintaro-2

＞ある空港で9/10の確率で麻薬を探知できる麻薬捜査犬が10匹いるとして

その日本語が
A．1000個中90個の麻薬を見逃さずに、１００個反応したら10個が普通で90個が麻薬という意味なのか
B.1000個中100個の麻薬で、10個は見逃すのだけれども90個は見つけられるという意味なのか
C.両方を含む
どれなのかがいまいち不明ですが、
とりあえずAの意味だとして

>麻薬捜査犬を使い10匹全部が一つの荷物に反応したとすると、その荷物が麻薬である確率はどうなるのでしょうか、また2匹を使い2匹とも一つの荷物に反応した場合よりもその荷物が麻薬である確率は高いのでしょうか？

ある荷物に犬が反応した場合、

それが麻薬である可能性は90％で
普通の荷物である可能性は10％です

それぞれの犬が反応するのは独立事象ですから

それが普通の荷物である可能性は
犬２匹なら10％×10％で　1％に低下します。
犬１０匹が反応したのであれば、10％の１０乗に低下します。

お礼

なるほど検知した頭数が増えるとその荷物が麻薬であるという信憑性は上がるということですね
回答有難うございました