3^jでは割り切れるが3^(j+1)では割り切れない確率

質問

ｎを正の整数とする。箱の中に3^n枚のカードが入っていて、これらのカードには１から3^nまでの番号がつけてある。この箱から無作為に1枚のカードをとりだし、その番号をXとする。次に、このカードを箱の中に戻し、再び無作為に1枚のカードを取り出してその番号をYとする。このようにして得られた整数の組(X,Y)について、「XとYの積XYは3^nで割り切れる」という事象をAとする。
（１）０≦ｊ≦ｎである整数ｊに対し、「Yは3^jで割り切れるが3^(j+1)では割り切れない」という事象をB_jとおく。事象A∩B_jが起こる確率P（A∩B_j）を求めよ
（２）事象Aの起こる確率P（A）を求めよ。
（３）・・・・

この問題に取り組んでいます。
Aという事象とB_jという事象の意味がうまくつかめなくて困っています。Aというのは（X,Y）＝(1,3^n)(3,3^n-1)・・・(3^n,1)となるときなのでしょうか？全事象が3^(2n)（？）なのでP(A)＝1/3^nとなるのでしょうか？B_jはシグマの記号を使って表すのでしょうか？
回答いただければ幸いです。よろしくお願いします

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

●「カードに書いてある番号 kを3で最大何回割れるか」というのを S(k)と表す事にします。（「S」は以下の記述を短くするために勝手に作った記号であって、もちろん「おぼえるもの」なんかじゃありません。）すると、S(k)=j　とは　k = (3^j)×(3で割り切れない自然数） という意味ですし、S(k)≧j とは　k = (3^j)×(任意の自然数） という意味です。
たとえば、
S(15) = 1　なぜなら 15 = (3^1)×5
S(16) = 0　なぜなら 16 = (3^0)×16
S(17) = 0　なぜなら 17 = (3^0)×17
S(18) = 2　なぜなら 18 = (3^2)×2
といった具合です。

●　この記号を使うと、事象A「二枚のカード X,Yについて XYが3^nで割り切れる」とは
S(X)+S(Y)≧n
ってことであるのがわかります。そして事象B[j]とは
S(Y)=j
のことであるのがわかります。

（１）事象 A∩B[j] とは
S(X)+S(Y)≧n ∧ S(Y)=j
のこと。これは
S(X) ≧ n-j ∧ S(Y)=j
ということと同値です。（なお「x ∧ y」とは「 xであり、かつyである」という意味。「同値」とは、「互いに必要十分条件になっている」という意味です。）
だから、
S(X) ≧ n-j　となる確率をp[j]とすると
p[j] = (S(k)≧n-j となるkが書いてあるカードの枚数）÷（全てのカードの枚数）
S(Y)=j　となる確率をq[j]とすると
q[j] = (S(k)=jとなるkが書いてあるカードの枚数）÷（全てのカードの枚数）
そして、X, Yは独立に（互いに無関係に）選ばれるのだから、事象 A∩B[j]が生じる確率P(A∩B[j])は
P(A∩B[j]) = p[j] q[j]
となります。（XとYを入れ替えたら重複しないか？なんてことを心配する必要は全くありません。）
（２）事象B[j]とB[i](i≠j)は、両方が同時に成り立つことはない。つまり互いに排他的です。だから、
P(A) = Σ P(A∩B[j]) （Σはj=1～nの総和)

●　さて、k = 1～3^n が書いてあるカードが1枚ずつあるとき、S(k)≧j となるカードは何枚あるか。探すのは
k = (3^j)×(任意の自然数）
であるようなカードです。j＞nなら0枚、j=0なら 3^n枚と、ここまでは当たり前。問題は 0＜j≦nのときです。
S(k)≧j とは、「k　を3でj回以上割れる」という意味であり、従って、「k = (3^j)mとなるような自然数m（ただしm≧1）が存在する」ということです。だから、
k = (3^j)m ∧ k ≦ 3^n ∧ m≧1
となるような自然数 m が幾つあるか、というのが、S(k)≧j となるカードの枚数に他なりません。この式を(kを消去して）整理してみれば
1≦ m ≦ 3^(n-j)
です。これが成り立つ自然数 m の個数です。だから S(k)≧j となるカード は(3^(n-j))枚だと分かります。

●　では、k = 1～3^n が書いてあるカードが1枚ずつあるとき、S(k)=j となるカードは何枚あるか。これを計算するには「S(k)≧jであって、しかもS(k)≧j+1ではないようなカード」の枚数を数えます。
　ここで、S(k)≧j+1であるカードは全部、S(k)≧jであるカードの中に含まれています。ですから、S(k)≧j のカードは　(3^(n-j)) 枚あるけれど、そのうちS(k)≧j +1のカードが (3^(n-(j+1))) 枚あって、これらは除かねばなりません。
　よって、S(k)=j であるカードは　(3^(n-j)) - (3^(n-j-1)) 枚です。

回答No.2

noname#21330

補足です。
（X,Y）＝(1,3^n)(3,3^(n-1))・・・(3^n,1)
の、例えば、(3,3^(n-1))は、素因数分解したばあいに、3の倍数を1個もつ整数と3の倍数をn-1個持つ整数の組み合わせの数です。
3の倍数をn-1個持つ整数は、3^(n-1)おきにあらわれることを考慮すれば出るかと思います。

回答No.1

noname#21330

Aは、（X,Y）＝(1,3^n)(3,3^n-1)・・・(3^n,1)ですね、ただし、(1,3^n)と(3^n,1)等は重複になりますので、これを考慮しないといけません。

つぎに、「Yは3^jで割り切れるが3^(j+1)では割り切れない」は、(1,3^j)(3,3^j-1)・・・(3^j,1)(重複は省く)
ではないですか？
例えば、
(1,3^(j+1))(3,3^(j+1)-1)・・・(3^(j+1),1)
は、「Yは3^jでも3^(j+1)でも割り切れる」で条件に合致しません。