命題

質問

以下の命題は正しいらしいのですが、僕は正しいとは思えません。

xを実数とするとき、x＞1ならばx＞0である。

です。
x＞1ならば、x=0.5は成り立ちません。
なのに、x＞0が成り立つと有ります。
この矛盾を誰が教えて貰えませんでしょうか？
是非是非宜しくお願い申し上げ致します！

回答No.4

noname#212313 · ベストアンサー

#2です。

> x＞1ならば、x=0.5は成り立たない。故に、x＞0は成り立たないと言う考えが取れません。
> 僕の考えの何処が数学的におかしいのでしょうか？

　数学的（や論理学的）にはおかしい、となります。数学では「ならば」の使い方が専門用語として定めてあります。例えば、国語辞書で調べて、今回の問題で質問者様の解釈が成り立つと示せたとします。

　しかし、数学としては「そんなことは無関係です」となります。なぜなら、「『ならば』の使い方は数学では国語と関係なく、特殊なものに定めてある。だからこそ記号『⇒』を定めてあり、自然言語なしで記述できるようにもしている」からです。

再掲>xを実数とするとき、x＞1ならばx＞0である。

は、数学記号のみを用いて、例えば以下のように書けます。

x∈R;x＞1⇒x＞0

　むしろ、このほうが紛れがなく、数学本来とも言えます。しかし、これでは読みにくいですから（例えば、口頭だと困る）、「xを実数とするとき、x＞1ならばx＞0である」のように書いたりするわけです。それは、「1+1＝2」を「いち足すいちはに」と読むのと似ています。「足す」の国語辞書的な語義を考えて、いろいろな答を出してもも仕方ありません。「1+1＝2」は「1+1＝2」でしかないのです。それが数学です。

お礼

再度御回答誠に有難う御座居ます。
やっと意味が分かりました。
xを実数とするとき、x＞1ならばx＞0である。
xを実数とするのは、xに大きさが有る、つまり、不等式で表せると言う意味ですね？
x＞1ならば、とは、xの大きさが1よりも大きい場合に限っては、と言う意味ですね？
xが1よりも大きい場合に限っては、確かにxは0よりも大きいです。
そう言う解釈で間違いありませんか？

回答No.3

dotflower

私もウル覚えな知識での回答になりますが・・・

まず、前提として「ならば」という言葉の意味は大丈夫ですかね？
「ならば」とは、「前文を条件として述べるときに用いる言葉」です。
https://kotobank.jp/word/%E3%81%AA%E3%82%89%E3%81%B0-348059

＞xを実数とするとき、x＞1ならばx＞0である。
ここでの前文とは「X>1」のことです。
ｘ＞１を条件、つまりｘは1より大きいものであるということを述べているのです。ここまでは大丈夫ですかね？
とすると、１は０より大きいのですから、ｘ＞１＞０、言い換えるとｘ＞０になるのです。
（ちなみに「ならば」という表現ですが、X>1という条件を満たしていると仮定するとと考えてみるとよいかと。）

ちなみに、この命題の逆（ならばの前後の条件（ここではｘ＞１とｘ＞０）を入れ替えること）は、
xを実数とするとき、ｘ＞０ならばｘ＞１であるとなります。
つまり、この場合に言われているｘは、０より大きければいいので質問者さまがおっしゃるようにｘ＝0.5でも成り立ち、答えは【偽】となります。
もしかしたら質問者さまはこちらの考え方をしてしまっていたのではないでしょうか？

※命題の表・裏・逆・待遇についてまとまっている表がありましたので宜しければご覧ください。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/gyaku.htm

高校を卒業してから数年経っているのでもしかしたら解釈違いとかあるかもしれませんし、言っていることがわからないかもしれませんが、少しでも参考になりましたら幸いです。

お礼

御回答誠に有難う御座居ました。
申し訳有りません。
良くわかりませんでした。

回答No.2

noname#212313

>xを実数とするとき、x＞1ならばx＞0である。

　これは正しいのですが、検証の仕方にちょっと注意が必要です。お考えに沿って説明してみます。

>x＞1ならば、x=0.5は成り立ちません。

　その通りです。

>なのに、x＞0が成り立つと有ります。

　これは「x=0.5」を考えておられるのですね。単独の不等式なら、確かに成り立ちます。しかし、それは数学の「ならば」にそぐわないやり方になります。

「ならば」はフィルターのようなものです。「x＞1ならば」となれば、それが成り立たないx=0.5は取り除かれてしまうのです（あるいは、使えなくなってしまう、と考えてもいい）。

　お示しの命題を、もう少し文章的に分かるように書き直してみると、

１）xとして実数だけを考えることにします。
２）さらに、x＞1となるxだけを考えるとします。
３）それなら、必ずx＞0になっています。

であり、さらに日常語的に言えば、

４）1より大きい数なら、0より大きいのは当たり前ですよね。（だって1は0より大きいんだから。）

ということです。繰り返しになりますが「AならばBである」と数学で言うときは、Aを満たさないものはBに適用しないのです（言葉を変えれば、Aを満たすものだけをBに適用してみる、ということ）。

お礼

御回答誠に有難う御座居ます。
1）～4）の説明は大変分かりやすく、理解出来ました。
ですが、
x＞1ならば、x=0.5は成り立たない。故に、x＞0は成り立たないと言う考えが取れません。
僕の考えの何処が数学的におかしいのでしょうか？
度々の質問、申し訳ありません。
是非是非御回答の程、宜しくお願い申し上げ致します！

補足

御回答誠に有難う御座居ます。
1）～4）の意味は分かりました。
xが1より大きければ、xは0より大きい。
ですよね。
ですが、依然として、x＞1ならば、x=0.5は成り立たない。
よってx＞0は成り立たないと言う考えが取れません。
僕の考えの何処が数学的におかしいのでしょうか？

回答No.1

sugra

仮定というか命題の意味が分かっていないことが原因だと思われます。x>1と書いてあるならxに入るのは１より大きい実数です。
つまり命題をすべて日本語で書くと「１より大きいすべての実数は０より大きい」という当たり前の主張をこの命題は述べています。

お礼

御回答誠に有難う御座居ました。