固有ベクトルは具体的な値を指定して解いてもよい？

質問

以下のURLの第2問の2（連立線形微分方程式の問題）に関してです。
http://www.gsm.kyoto-u.ac.jp/images/education/kakomon/18sugaku.pdf

(1)のような問題で、通常固有ベクトルを表すときには、「0以外の任意の実数t1、t2」などを用いるかと思います。
※ちなみにこの問題では、e1 = t1(1, -1)、e2 = t2(1, 2) となりました。

(2)以降の問題を解くときに、例えばt1=t2=1として、具体的な固有ベクトルを指定して解いていっても良いのでしょうか？
それとも最後まで、t1、t2などの文字を残して計算していかないといけないのでしょうか？

どなたかご教授ください。どうぞよろしくお願いします。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

数学ですから、形式的なことを考える前に、何が本質的なことなのかが重要です

固有ベクトルというのは方向が本質的なのであって、ベクトルの大きさは関係ありません。
だから固有ベクトルを答えなさいという問題の回答は、「正規化しなさい」というような
文言がない限り、(1, -1) でも (100, -100) でも正解です。

t1　とか t2 という係数を付けて、固有ベクトルを集合として答えるのも悪くないですが、
そういう方針で答えるならt1 = 1 と決め付けるべきではないでしょう。

なので、t1, t2 に適当な値を決め付けても、t1, t2 を残してもすべて正解です。
あとはやりやすい方法でやればよろしいのではないでしょうか？

t1, t2 を決めても、固有ベクトルが絡む計算に支障が出るわけではないので
t1, t2 を適当に決めて答えるのが普通です。

回答No.3

kittensillabub

例えば、(1)の問題で e1 = (1, -1)、e2 = (1, 2) としたらそれは正解と言えるでしょうか。

もし正解であれば、(2)以降の問題を解くときに、具体的な固有ベクトル
(==ある固有ベクトル)を用いて成立することを示せば正解でしょう。

もし不正解であれば、(2)以降の問題を解くときに、具体的な固有ベクトル
(==ある固有ベクトル)を用いて成立することを示したうえで、
具体的な固有ベクトルで成立することを示せば、任意の固有ベクトルでも
成り立つことを示さなければいないでしょう。

なお、少なくとも(2)の証明に、t1だの、t2だのは登場しないと思いますよ。
もう、四半世紀以上前なのであやしいですが、
　定義から Ae1 = λ1e1、Ae2 = λ2e2。これらを結合して AM = ΛM。
　λ1、λ2が存在するから Mの逆行列も存在して、以下回答へ
こんなところじゃないでしょうか。

回答No.2

Tacosan

もう 1回繰り返すけど, 要は「任意の固有ベクトルに対してなりたつ」ように書いてあればどうでもいい. だから, 「t1、t2は0以外の任意の実数なので、以下t1=t2=1として解く」と書こうとどう書こうとそれ自体は問題ではない.

後で他人から「これ, t1 = √97, t2 = -π^2 でも成り立つ?」って聞かれたとき (もちろんこれはただの 1例である) に「そこに書いてある内容＊だけ＊で説得できる」なら OK だし, 言葉を足さないとだめなら NG ってだけのこと.

回答No.1

Tacosan

「任意の固有ベクトルに対してなりたつ」ように書いてあればどうでもいいです.

補足

ということは、「t1、t2は0以外の任意の実数なので、以下t1=t2=1として解く」と書いておけば良いということでしょうか？