数III 積分法の質問です。

質問

数IIIの積分法で、写真の☆印の設問の解法・解答を教えて下さい。
可能な限り、途中式を書いていただけると助かります！
よろしくお願いいたします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

積分範囲は(0,1)の定積分に持ち込む。

従ってdx=1/n

∫(0→1)f(x)dx=lim(n→∞)Σ(i=0→n)F(i/n)(1/n)

程度の対応付けを意識しておく。

lim(n→∞)n[1/n^2+1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+....1/(n+n-1)^2]

=lim(n→∞)(1/n)[n^2/n^2+n^2/(n+1)^2+......n^2/(n+n-1)^2]

=lim(n→∞)(1/n)[1+1/(1+1/n)^2+1/(1+2/n)^2+......+1/(1+(n-1)/n)^2]

=∫(0→1)[1/(1+x)^2]dx=[-1/(1+x)](0→1)=-1/2+1=1/2