中学生の数学の問題です。

質問

高校入試の模擬テストに出た問題です。解き方を教えてください。

１列目　　　　　１
２列目　　　１　２　１
３列目　１　２　３　２　１
　・
　・
と１０列目まで並んだときの、偶数列の総和と奇数列の総和の差はいくつか。

という問題で、地道に数えていくと、偶数列の総和が２２０、奇数列の総和が１６５で、差は５５だとわかるのですが、こんな解き方じゃ、数学じゃないし、列が１００列とか増えたときにいちいち数えてられないし。
１０列なら、差は１から１０まで足した数になるみたいですけど、この問題、そう解けばいいのでしょうか。

どうぞ教えてください。

回答No.4

noname#215361 · ベストアンサー

ANo.3の訂正です。

上から1行目の、「2列目と1列目の差を(2)―(1)と表わすと」は、「2列目と1列目の差を(2)-(1)と表わすと」に訂正（表記の統一）
「n=10列目」と「n列目」は、それぞれ「n=10列目まで」と「n列目まで」に訂正

お礼

とってもわかりやすいご回答、ありがとうございました。

説明しいてあげればわかってくれそうですが、自分でこれを導き出せとなると、ちょっと中学生レベルじゃ難しいですかね。

高校入試の数学なので、一列ずつ計算して・・っていうのはちょっとすっきりしませんが、仕方ないですかね（笑）

回答No.3

noname#215361

2列目と1列目の差を(2)―(1)と表わすと
(2)-(1)=2+1
(4)-(3)=4+3
(6)-(5)=6+5
(8)-(7)=8+7
(10)-(9)=10+9
以上から、10列目まで並んだときの、偶数列の総和と奇数列の総和の差は、1から10まで足した数になることがわかる
これを一般式で表わすと
k列目と（k-1）列目の差は、k+（k-1）=2k-1
よって、n列目ならば、この式のkに、2～nのうちの偶数だけを順に入れていけばいい
元に戻って、n=10列目ならば、kに入れる数は2、4、6、8、10の10/2=5個
2+4+6+8+10=xとすると
10+8+6+4+2=x
これから、12*5=60=2x→x=30
2k-1において、kに2、4、6、8、10の5個の数字を順に入れても、-1は一定なので
n=10列目ならば、2*30-1*5=60-5=55（1から10まで足した数）
これからまた一般式に戻ると、n列目ならば
2*(2+n)*n/2/2-n/2=（n^2+2n）/2-n/2=（n^2+n）/2=n（n+1）/2

回答No.2

DJ-Potato

数学的に一般式を作って、何列目まででも対応出来るようにするのは良いことだと思いますが、中学校のテストでそこまで求めるのはどうかと。
力技でも解ける程度のレベルで作られていますよね、中学校の問題って。
確率もサイコロ2つだし。

さて、各列の総和は、一般式として以下のようになります。

n列目の和は1～nまでの和と、1～n-1までの和を足したものですね。
Sn= 1/2×n(n+1) + 1/2×(n-1)n = n^2

Nを偶数として、N列までの
奇数列の総和は 1^2+3^2+5^2+…+(N-1)^2
偶数列の総和は 2^2+4^2+6^2+…+N^2

そんな感じです。

お礼

ご回答ありがとうございました。
この数式を中学生に理解しろというのは、難しいようですね。
やはり、時間をかけて、計算していくしかないのですかね。

回答No.1

f272

> １０列なら、差は１から１０まで足した数になるみたいですけど、この問題、そう解けばいいのでしょうか。

そうだよ。

1列目と2列目の違いは、2列目に1と２が増えたこと。
3列目と4列目の違いは、4列目に3と4が増えたこと。
5列目と6列目の違いは、6列目に5と6が増えたこと。
7列目と8列目の違いは、8列目に7と8が増えたこと。
9列目と10列目の違いは、10列目に9と10が増えたこと。

どこまで行っても同じことだよね。

お礼

他の方からのご回答でも、やはり、数式でというのは無理のようですね。
重ね重ね、ご回答ありがとうございました。

補足

ご回答ありがとうございます。

その理屈はわかるんですけど、それを数式に表せないのかをお聞きしたいのです。
中学生の数学って、○○をNとすると・・・みたいなのがよくあるじゃないですか。
たとえば、偶数列の総和は、N（N+1）。じゃあ奇数列は？？？
N(N+1)ー（奇数列の総和）みたいな。