数学

質問

座標平面上で初めに原点にあった動点Pが、x軸の正の向きに１だけ進む。次に進行方向に向かって左へπ/6だけ向きを変えて1/2だけ進む。次に進行方向をさらに左へπ/6だけ向きを変えて1/4だけ進む。以下同じように、進行方向を左へπ/6ずつ向きを変え、進む距離を前回の半分にしていくとき、動点Pが限りなく近づく点の座標を求めよ。

とき方がわかりません。
複素数平面でとくのでしょうか、それとも極限を使うのでしょうか？

回答No.4

info222_ · ベストアンサー

Pが近づく点の座標は
P1→P2→P(n+1)→ … →P
であるから

P1=1
P2-P1=(1/2)e^(iπ/6)
P3-P2=(1/2^2)e^(i2π/6)
…
P(n+1)-Pn=(1/2^n)e^(inπ/6)
辺々加えると

P(n+1)=1+Σ(k=1,n) e^(i kπ/6)
=1+Σ(k=1,n) cos( kπ/6)/2^k+ i Σ(k=1,n) sin( kπ/6)/2^k
座標に直せば
P(n+1)=(1+Σ(k=1,n) cos( kπ/6)/2^k, Σ(k=1,n) sin( kπ/6)/2^k)

n→∞とすると　P(n+1) → P なので
P=(1+Σ(n=1,∞) cos(nπ/6), Σ(n=1,∞) sin(nπ/6))
=((14+3√3)/13, (5+2√3)/13) …　（答）

回答No.3

otonashi-riko

複素数平面をつかいます。
線分の長さが、最初が　１で　大きさが　1/2　になり　回る角度が　π/6 ですから

　a = 1/2*e^(iπ/6) = 1/2*(√3/2 + i 1/2) と置きます。

1 + a + a^2 + a^3 + ・・・ + a^(n-1) = (1 - a^n)/(1 - a)　, (|a| =1/2 <1)

　ここで　n を無限大まで持っていくと　上の式は 1/(1 -a ) =((4-√3) + i)/(5-2√3)
に収束します。

回答No.2

Tacosan

複素数平面はともかく, どう考えても極限は必要だろ....

さらにいえば複素数平面と極限って排反なわけじゃないし.

回答No.1

asuncion

＞複素数平面でとくのでしょうか、それとも極限を使うのでしょうか？

両方、かな？