基本中学範囲の数学の問題で、解けません！(´；ω；

質問

基本の中学範囲の問題なのですが、ひらめきません。助けてください。

問題は
下図は　AB＝６　BC＝８　AC=10　の三角形である。三角形ABCに円が内接していて、せんぶんDE（Dは辺AB上、Eは辺AC上）と円は接しているとする。DEとBEが平行であるとき、三角形ADEの面積を求めよ、です。　

図を添付しておきました　わかりづらくてすみません。

回答No.3

spring135 · ベストアンサー

>DEとBCが平行であるとき

とする。

これはAB:BC:CA=6:8:10=3:4:5

なので∠ABC=90°というにはすぐわかりますか。

理由：AB^2+BC^2=6^2+8^2=100＝10＾2＝AC^2

よってピタゴラスの定理を満たしているので∠ABC=90°

これを使って一発で解く方法もあるでしょうが

中学数学の範囲で考えます。

円とBC,CA,ABとの接点をF,G,Hとすると

AH=AG,BH=BF,CF=CGは解りますか。これらをp,q,rすなわち

AH=AG=p

BH=BF=q

CF=CG=r

とおくと

AB=p+q=6 (1)

BC=q+r=8 (2)

AC=p+r=10 (3)

(1)+(2)+(3)を作ると

2p+2q+2r=24

よって

p+q+r=12 (4)

(4)-(1)から　　r=6

(4)-(2)から　　p=4

(4)-(3)から　　q=2

円の中心をOとすると

OF,OHはBC,ABに直角、最初に示したように∠ABCも直角、したがって∠HOFも直角

四角形OHBFは一辺がq=2の正方形でOH//BC//DE、よって⊿ADE∽⊿ABC

OからDEに下した垂線の足をKとすると四角形OKDHも一辺が2の正方形

ゆえにBH=HD=2、AD=6-2-2＝2

⊿ADEは⊿ABCと相似であるので

AD/AB=DE/BC

DE=BC*AD/AB=8*2/6=8/3

⊿ADEは⊿ABCと相似であるので

∠ADE=90°

よって

⊿ADEの面積＝2*（8/3）/2＝8/3

お礼

ご回答ありがとうございました。回答者皆さんがとてもいい返答をしていたので、誰を選ぶか迷いましたが、細かく証明を書いてくださった8765087さんをベストアンサーに選ばせていただきました。　ありがとうございます。

回答No.2

usaginotawagoto

回答ＮＯ1さんので合っていますし王道だと思いますが、今回の問題の場合は他にもやり方があるので参考までに。

ＮＯ1さんと同様、DEとBEが平行ではなくDEとBCが平行だと仮定します。

各辺の長さがそれぞれ3、4、5の直角三角形の内接円の半径は1と決まっています。同じ比（3:4:5になるもの）で各辺の長さが〇倍になった場合、内接円の半径も〇倍になっていきます。よって、今回は6:8:10で各辺の長さが2倍なので半径も2倍＝2です。

また、面積の出し方もADの長さがAB－2（半径）×2＝2であり、三角形の面積を出す時は2で割るので相殺され、底辺DEの長さの数字がそのまま△ADEの面積となります。

AB：AD＝BC：DEなので、そのまま数字をあてはめ、わからない所（求める所＝DEの長さ）には文字を置きます。
すると、6：2＝8：ｘ　→　6ｘ＝16　→　ｘ＝16/6　→　ｘ＝8/3と出てきます。

お礼

回答ありがとうございます！　３４５の三角形の内接円半径は１とはしらなかったです。回答よりも一番の収穫かもしれません。ありがとうございました

回答No.1

info222_

>DEとBEが平行であるとき
これは
「DEとBCが平行であるとき」
の間違いですね？

そうであるなら
円の半径をrとすると、円外から円に引いた２本の接線の長さは等しいから

AC=10
　=AE+CE=(AB-r)+(BC-r)=(6-r)+(8-r)=14-2r

　2r=14-10=4
　∴r=2

△ADE∽△ABCなので面積比は相似比の２乗に比例するから
　△ADE：△ABC=AD^2：AB^2
　△ABC=6*8/2=24, AD=AB-2r=6-4=2, AB=6なので
　△ADE=24*(2/6)^2=24/9=8/3 …(答)

お礼

さっそく返答ありがとうございました！　わかりやすかったです。しかし回答３番さんがとｔってええええも細かく返答してくださったので、、、、３番さんをベストアンサーにしました　ありがとうございました！