方程式

質問

（１）
整数Ｆ（ｘ）をx-1で割ると余りは9で、x＋3で割ると余りは1であった。そのときF(x)を(x＾2)＋2xー３で割ると、その余りはいくつか？
Ｆ（ｘ）＝Q(x)・(x-1)＋9
f(x)=q(x)・（x＋3）＋1
までは考えたのですが。
よくわかりません

（２）
mを実数としたとき、2つの２次方程式,(x＾2)＋2mx＋2=0と(x＾2)＋4x＋m=0が、ただ１つの共通解をもつとき、そのmの値は？

連立方程式も考えたのですが、答が合わなくて

どのように解くかわかりません。
おしえてください

回答No.6

eatern27 · ベストアンサー

#1です。#5さんが指摘されていますが、「因数定理」というのは間違いです。失礼しました。(#5さん、ご指摘ありがとうございました)

＞m=2というのはどこでわかるのですか？
ｍ＝２だ、といっているわけではないです。むしろ、この部分では、ｍ≠２だという事を言おうとしているのです。ようは、背理法です。

ｍ＝２と仮定すると、矛盾が生じる。よってｍ≠２だ。

という事を言いたいんですね。これの「ｍ＝２と仮定すると」を「ｍ＝２とすると」と書いているんですね。

＞二つの方程式が同じだとなざ解は１つとはありえないのでしょうか？
この問題では、実際に解を求めると共通解が２つになります。これは、「共通解が１つ」という条件に反しますよね。

回答No.5

hinebot

#4です。

問題(2)については、#1さんのやり方の方がスマートかもしれませんね。
"答えが合わない"ということで、質問者さんはこちらのやり方でつまづかれているのかもしれません。
ちょっとやってみましょう。ついでに(1)も#1さんのやり方でやってみます。
#4で私がやった方法でも、どちらでもやりやすい方でいいですよ。

(1)
「Ｆ（ｘ）をx-1で割ると余りは9」なので
Ｆ（ｘ）＝Q(x)・(x-1)＋9
とおける。
このQ(x)を(x+3)で割った余りをaとする。
すると、Q(x)＝(x+3)q(x)+aとできるので、これを上式に代入すると
F(x)＝(x-1){(x+3)q(x)+a}+9
　　＝(x-1)(x+3)q(x)+a(x-1)+9 ---(#)

F(x)をx+3で割ると余りが1なので、F(-3)=1　となる。
[剰余の定理より.(#1で、因数定理と言っているのは誤り）]
(#)にx=-3を代入して
F(-3)=(-3-1)(-3+3)q(x)+a(-3-1)+9 = -4a+9 = 1
∴ a=2
F(x)を x^2+2x-3 (=(x-1)(x+3) )で割った余りは(#)より
a(x-1)+9 なので、これに a=2 を代入して
求める余りは 2x+7 [答]

(2)
共通解をαとおくと、
α^2 +2mα+2=0 ---<1>
α^2 +4α+m =0 ---<2>
を満たす。
<1>-<2>より
左辺=(α^2 +2mα+2)-(α^2 +4α+m) = (2m-4)α+2-m
　　=2(m-2)α-(m-2)=(2α-1)(m-2)
右辺=0-0=0
よって、(2α-1)(m-2)=0
∴ α=1/2 or m=2
--------------------------------------------------
ここで、答えは m=2 とすぐにしていないですか？
α=1/2 "または" m=2 なので、それぞれの場合について
検証しなくてはいけません。
--------------------------------------------------
(i)m=2 のとき
x^2+2mx+2 =0 　は x^2+4x+2=0
x^2+4x+m =0 は x^2+4x+2=0
で２つの方程式は一致するため共通解が２つになり不適。

(ii)α=1/2 のとき
<1>または<2>に代入する。
・<1>に代入した場合
(1/2)^2+2m(1/2)+2 = m+9/4 = 0 ∴ m=-9/4
・<2>に代入した場合
(1/2)^2+4(1/2)+m = m+9/4 = 0 ∴ m=-9/4

どちらの場合も m= -9/4 と求まる。

逆に m=-9/4 のとき
x^2＋2mx＋2=0　は x^2-(9/2)x+2=0
2x^2-9x+4=(2x-1)(x-4)=0
より、 解は 1/2, 4
x^2＋4x＋m=0 は x^2+4x-9/4 =0
4x^2+16x-9 =(2x-1)(2x+9)=0
より、解は 1/2, -9/2 より題意を満たしている．

※#3さんも書かれていますが、最後の「逆に～」以降の検証はやっておいた方がいいですね。(#4では忘れてしまいましたが)

補足

No.4ですが
(6)まではわかりました
でも、m=2というのはどこでわかるのですか？
Ｎｏ．５でもですが
二つの方程式が同じだとなざ解は１つとはありえないのでしょうか？

回答No.4

hinebot

(1)
まず、
(x＾2)＋2xー３=(x-1)(x+3) ということに注意。
整式F(x)を(x＾2)＋2xー３=(x-1)(x+3)で割ったときの商をG(x),余りをax+b とおく。[注意１]
すると
F(x)=(x-1)(x+3)G(x)+ax+b ---(ア)
と書ける。
F(x)をx-1 で割った余りが9なので、F(1)=9 [注意２]
式(ア)より、
F(1)=(1-1)(1+3)G(1)+a*1+b=9
前半は0になるので a+b=9 ---<1>
F(x)をx+3 で割った余りが1なので、F(-3)=1 [注意２]
式(ア)より、
F(-3)=(-3-1)(-3+3)G(-3)+a*(-3)+b=1
前半は0になるので -3a+b = 1 ---<2>

<1>,<2>より　a=2,b=7
よって求める余りは 2x+7

[注意１]
2次式で割った余りは1次式以下になります。（余りの次数は割る数の次数より低くなります）
なので、xの1次式ということで ax+b とおけます。

[注意２]
>F(x)＝Q(x)・(x-1)＋9
>F(x)＝q(x)・（x＋3）＋1
とできますよね。それぞれに x=1,x=-3を代入すれば
F(1)=9, F(-3)=1 になることが分かると思います。
これは、整式の大事な性質です。

(2)
これは解と係数の関係を使います。
(x＾2)＋2mx＋2=0と(x＾2)＋4x＋m=0がただ１つ共通解を持つということから、その共通解をαとして、
(x＾2)＋2mx＋2=0のもう一つの解をβ
(x＾2)＋4x＋m=0のもう一つの解をγとします。
解と係数の関係から
α＋β＝-2m　---<1>
αβ＝2 ---<2>
α＋γ＝-4 ---<3>
αγ＝m ---<4>
の４つの式がでます。
この４つの連立方程式を解く要領で進めます。
x=0 は２つの2次方程式の共通解にはなりえない（x^2+2mx+2=0 の解ではない）から、
α≠0
<1>と<3>からαを消去すると
β－γ= -2m+4 =2(2-m) ---<5>
<2>より β＝2/α
<4>より γ=m/α
これらを<5>に代入して
(2-m)/α　=2(2-m) ---<6>

ここで、m=2とすると
x^2+2mx+2 =0 　は x^2+4x+2=0
x^2+4x+m =0 は x^2+4x+2=0
で２つの方程式は一致するため「ただ１つの共通解を持つ」という条件に当てはまらない。（共通解が２つになる）
よって、m≠2 である。
<6>の両辺を 2-m(≠0)で割って　1/α= 2
∴α= 1/2
<3>より (1/2)+γ = -4 ∴γ = -9/2
<4>より　m = αγ = (1/2)*(-9/2) = -9/4

補足

(6)まではわかりました
でも、m=2というのはどこでわかるのですか？

そして、二つの方程式が同じだとなざ解は１つとはありえないのでしょうか？

回答No.3

kurobe3463

(1) 2x+7
(2) -9/4

解くだけなら
(1) F(x)=(x^2+2x-3)Q(x)+(ax+b)
とおくと
　F(1)=a1+b=9 より a+b=9
　F(-3)=a(-3)+b=1 より -3a+b=1
連立方程式を解いて a=2, b=7 より余りは
　2x+7

(2) x^2＋2mx＋2=0 の解 a, b　とすると
　a+b=-2m, ab=2.
x^2＋4x＋m=0 の解を a, c とすると
　a+c=-4, ac=m

(a+b)-(a+c)=(-2m)-(-4) より b-c=-2m+4
ab-ac=2-m より a(b-c)=2-m
したがって，a(-2m+4)=2-m, a=1/2
a+c=-4 より c=-9/2,
m=ac=(1/2)(-9/2)=-9/4

逆に m=-9/4 なら x^2＋2mx＋2=0 の解は 1/2, 4
x^2＋4x＋m=0 の解は 1/2, -9/2 より題意を満たしている．

こんなんでいいのかな？（雑なのでちょっと心配，特に(2)）

回答No.2

tarame

(1)
F(x)=Q(x)(x^2+2x-3)+ax+b と置きましょう。
剰余の定理を使って
a,bの連立方程式を作りましょう。
(2)
共通解をｔとおいて
ｔ^2＋2mｔ＋２＝０…(ア)
ｔ^2＋4ｔ＋m＝０…(イ)　の連立方程式を解きましょう。

(ア)-(イ)より　2(ｍ－2)ｔ＝ｍ－2　※

ｍ＝2のとき(ア)(イ)は同じ式となるので、共通解は２つとなり不適
ｍ≠2のとき　ｔ＝1/2
(ア)(イ)に代入して、ｍ＝－9/4

※で(ｍ－2）の値に注目することがポイントです！！

回答No.1

eatern27

(1)
＞Ｆ（ｘ）＝Q(x)・(x-1)＋9

このQ(x)を(x+3)で割った余りをaとおきます。
すると、Q(x)＝(x+3)q(x)+aとなります。これを上式に代入すると

F(x)＝(x-1)(x+3)q(x)+a(x-1)+9
となるので、F(x)を(x+3)(x-1)＝(x^2+2x-3)で割った余りはa(x-1)+9と分かります。あとはどうやって、aを求めるか,ですね。

ヒントは、「F(x)をx+3で割った余りが１」という条件を使っていない事と因数定理です。

(2)
共通解をαとします。
α^2+2mα+2=0
α^2+4α+m=0
となります。
上の式から下の式を引くと(2α-1)(m-2)=0となります。

よって、2つの方程式が共通解をもつならば、(2α-1)(m-2)=0が満たされていることを意味します。

だからと言って,(2α-1)(m-2)=0ならば、共通解を持つ、とは言えません。まして、「ただ１つの共通解をもつ」などいえる訳がありません。

この後はどうすればいいか考えてみてください。

(分からない点があれば補足を)