この問題の1行目は、どういう考え方？

質問

前の問題を受けて、「では、これが成り立つことを証明せよ」という問題です。

写真の下半分が、解答です。
1行目から2行目になる理由も、
2行目から3行目になる理由も理解出来ました。

あとは、問題(a)の結果から、どうしてこの、arctan…が出てきたのか
が　わかりません・・・。
基本的な質問かもしれませんが・・・一体どういう考え方が適用されているでしょうか？

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

不定積分

∫[1/(1+x^2)]dx＝arctanx+C

を前提にした議論でしょう。まともな大学を受験するにはこの不定積分をに自在に活用できることが必要でしょう。証明も極めて簡単で、

x=tant

という置換を行うことによってたちどころに出てきます。

∫[1/(1+x^2)]dx=∫[cos^2t/cos^2t]dt=∫[1]dt=t+c=arctanx+C

∫[1→α][1/(1+x^2)]dx=arctanα-arctan1=arctanα-π/4　　　　　(1)

(1)において

y=1/x

という置換をすると

∫[1→α][1/(1+x^2)]dx=∫[1→1/α][-1/(1+y^2)]dy=[-arctany][1→1/α]=arctan1-arctan(1/α）

＝π/4－arctan(1/α）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)

(1)＝(2)だから

arctanα-π/4＝π/4－arctan(1/α）

ゆえに

arctanα+arctan(1/α)=π/2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)　　

この結果も極めて単純な中学生レベルの内容です。

底辺が1、対辺がα（斜辺が√(1+α^2)の直角三角形ABCを考えてください。

Bが直角、Cが底辺に向きあう角、Aが対辺に向きあう角です。

このとき

arctanα＝∠C,　arctan(1/α)=∠A

がわかりますか。従って(3)は直角三角形の直角を挟む2角の和が直角といっているにすぎません。

お礼

さらに調べたところ、公式も見つかりました。
　証明は少しむずかしいですが、お陰様で問題を　納得して解くことができるようになりました。

　ご回答、どうもありがとうございました！