入試の数学の証明問題は何回もやれば解けるようになりますか

質問

僕は群馬県に住んでいる中学三年生です。
先日、入試の過去問題をやってみたら、証明問題（下のURLの大問6）が、難しくて驚きました。
このような問題も、たくさん問題をこなしておけば、出来るようになりますか？
（証明の基本的なことは理解していて、問題集の問題も大体解けるのですが・・・・）

--2005年度群馬県入試問題数学--
http://www.tokyo-np.co.jp/k-shiken/05/gnm/gnm/gnm-su/su3.shtml
--2005年度群馬県入試問題数学 解答--
http://www.tokyo-np.co.jp/k-shiken/05/gnm/gnm/gnm-su/su-a.shtml

回答No.5

noname#94992

まず、解答に移る前に、入試の問題の解き方です。
ぼくは、群馬県民ではないので、群馬県の入試についてあまり知りませんが、
どの入試もこれだけはいえると思います。
「量より質」
質より量とかよく言いますけど、ぼくは、正確に解くことが大事だと思います。
その問題に止まったら、５分間ほど考えます。
分かったら、解いていく。分からなかったら、答えを見る。
ポイントは、ここで答えを見る。
分からない問題が、突然ひらめいて分かるなんてなかなかありえません。
解答・解説を見たら、納得するまで、読み返す。それでも分からない場合は、
学校の先生に聞くやら、上の兄姉に聞くやらして、その問題を完璧にすることです。一度出たから、入試でその問題はもうでないという保障はありません。
現に三重県か石川県かでは、ほぼ同じ問題がでています（国語ですが…）。
少し変えてでてくるかもしれません。
そういうときにその問題にあたっていなければ、入試に落ちたかもしれない。
そう考えると量も大切ではありますが、質を大事にしてはいかがでしょうか?
あくまで、僕の自論なので、参考程度に流していただいてもかまいません。

さて、答えですが、僕もこの問題をみたことがあります。
確かに難しい問題ではありますが、ゆっくりと、正確に解けばいけると思います。
△DEG≡△BFGの証明となるわけです。そうすれば、DE=FGが導けます。
I、△ABCと△ADEは合同です。（回転させただけなので）
　　BC＝DEです。（↑より）
　　BC＝BFです。（仮定より）
　　よって、DE＝BF　　　　　　　　　　　　　・・・(1)
II、AE＝ACです。（△ABCと△ADEは合同なので）
　　すると、三角形AECは二等辺三角形となります。
　　よって、∠AEC＝∠ACEとなります。（二等辺三角形の定理より）←Xとします。
　　∠AED＝90°なので、
　　∠DEG＝90゜－∠AEC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　←Yとします。　　∠ACB＝90°なので、
　　∠BCF＝180゜－90゜－∠ACE
　　　　　　 ＝90゜－∠ACE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　←Zとします。
　　X、Y、Zより、∠DEG＝∠BCF　　　　←Tとします。
　　また、BC＝BF（仮定より）なので、
　　∠BCF＝∠BFC
　　これと、Tより、∠DEG＝∠BFG　　　…(2)
III、∠DGE＝∠BGF（対頂角より）
　　これと(2)より、∠EDG＝∠FBG（残りの角も等しくなるから）　　…(3)
　　(1)、(2)、(3)より１辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
　　△DEG≡△BFG　　　　　よって、EG＝FG

ながながしくて、うっとうしいかもしれませんが、参考になればうれしいです。
受験勉強頑張ってください。

回答No.4

yamidan

小中学生対象の塾講師で数学を担当しています。

今回の問題では最終的にＥＧ＝ＦＧを証明しなければなりません。
公立高校入試の証明問題で長さが等しいことを証明する場合のアプローチは３通りです。

(1)それぞれの辺を含む２つの三角形の合同を証明する
(2)その２つの辺を含む三角形が二等辺三角形（または正三角形）であることを証明する
(3)その２つの辺を含む四角形が平行四辺形（またはひし形）であることを証明する

今回の場合、図から考えて(2)(3)は無理なので(1)を選ぶのが自然ですね。
公立入試の図は正確に作られているのでどの三角形が合同かは見た目でも判断できます。
もちろん今回は△ＧＢＦ≡△ＧＤＥを狙えば良いわけです。
これでゴールは見えました。

次に重要なのは「公立入試の問題文に使わない条件はない」ということです。
まず△ＡＢＣを回転させたのが△ＡＤＥなのでこの２つの三角形は全く同じものです。
同じものなのですから角度も辺も全部一緒なので、対応する部分が等しいというマークを図に書き込みましょう。
マークは○でも×でもチョンチョンでも何でも良いです。
分かりやすいマークを自分で決めておくと良いですね。
ただ∠ＡＥＤに関しては「直角」のマークをそのまま書くのが普通だと思います。
図に書き込む事が何よりも重要です。
頭の中でやっていては証明法はひらめきません。

問題にＢＣ＝ＢＦもあるのでそれも図に書き込みます。
この段階でＢＣ＝ＢＦ＝ＥＤが分かりますよね。

次に最初の段階で同じ辺にしっかりとマークをつけていれば
二等辺三角形がたくさん隠れていることも分かると思います。
二等辺三角形が見えたら必ず底角が同じという印をうちましょう。

あとは対頂角も見えますよね。
そこにも同じという印をつけましょう。
とにかく自分が気付いたところにはどんどん印をつけるのが証明を解く近道になります。
これで同じものには全て印が付け終わりました。

まだ「直角」という条件を使っていないのでこれが最後のヒントになるはずです。
合同を証明したい三角形を見ると１辺と１つの角（対頂角）が等しいところまではきています。
合同を証明するにはあと１つ角が等しいことが分かればＯＫですね。
三角形の２つの角が同じなら残りの角も同じ大きさになるので。

印がついている角を見れば∠ＢＦＧが怪しい事がわかります。
ここが∠ＤＥＧと等しいことが分かれば良いわけです。
△ＢＦＣは二等辺三角形なので∠ＢＣＦにも同じ印がついていますよね。
ということは∠ＢＣＦと∠ＤＥＧが同じなら証明は完了します。
そしてその近くにうまい具合に直角がいます。
△ＡＣＥが二等辺三角形であることはちゃんと辺が同じ印がついていれば見えるので、
∠ＡＣＥと∠ＡＥＣにも同じ印がついていますよね。
そこに注目すれば∠ＢＦＧ＝∠ＤＥＧが分かります。

証明問題は図を実際に使って色分けなどをしながら解説すれば生徒は理解してくれます。
ただ、解説を配って「読んでやってみて」となるとできない生徒がたくさんいます。
ですので、この回答で通じるかどうかは分かりませんが参考になれば幸いです。

証明問題が解けるようになるにはたくさんの問題を解くしかありません。
なぜなら入試で使われる証明のテクニックはかなり限られているからです。
問題を解けば解くほどそのテクニックが限られていることがわかってくると思います。
それが分かればあとはその中から正解を選ぶだけです。
何回も問題を解いていくうちに自然と怪しいところに目がいくようになります。
そしてどの条件を使えば解けるかもひらめくようになります。
１か月くらいで身につく力ではありません。
入試までまだ半年近くありますから年明けくらいに解けるようになることを目標に証明問題に取り組んでみてください。

応援していますよ。
頑張って！

回答No.3

spaciaryomo

同じ群馬県に住んでいる中学校３年生です。
※他の方のようにまともな回答は出来ませんがご了承下さい。

確かに群馬の数学、特に証明は難しいですね。私だったらもうお手上げですよ。ですがしつこくそのような問題をやったらあなたにとって当日の入試では価値が出ると思いますよ。なぜならば（知っていたらすいません）完璧に証明が完成されなくても途中の仮定などが出来ていると例えば１２点配当のところ４点はとれます。４点は大きいですよ。たとえ出来なくても決して諦めないで解いてみてください！

自分の実力を信じてお互い志望校合格を目指しましょう！！Never Give UP!!

回答No.2

precog

文系な人なら他で稼げばいいですが、理系の人なのにこれが解けないと厳しいように思います。

これは、いわゆる理系的なセンスを問う「ガリ勉しなくても推理能力があれば解ける問題」です。良問のひとつ。わたしなら「儲けた」と思います。つまり、理系なら落としてはいけない問題のひとつです。とはいえ、10分くらい考えちゃいましたけど。(現役じゃないので許してください)

>このような問題も、たくさん問題をこなしておけば、出来るようになりますか？

解答を見て、どう正解にたどり着けばよいのかわからなかったのなら、証明問題の解き方のノウハウが足りないのかもしれませんね。

証明問題は、事実関係から組み立てることと、ゴールから組み立てることの両方から攻める必要があります。そうすることで、思考の発散を防ぎ、一定時間で正解にたどり着く論理的な思考が出来ます。(仮定と事実のはっきりした区別が必要)

この問題の場合、材料は「直角」と、与えられた三角形の合同、BC=BFです。ここから、BF=EDはすぐにわかります。これが前方からの推測。

一方、EG=FGが正しいと仮定すると、△BFG ≡ △DEG でなければならないことが推測されます。これを証明するのがゴールだということがわかります。

ここで、三角形の合同の条件を思い出してください。

次のポイントは、三角形の形(角度)を決めているのはBC=BFなわけですから、これを使わないと解けないはずだとわかります。(他の2本は角度が先に決まっている)

この2点の「ねばならない」から推理する範囲はグッと狭まりますので、後は簡単です。

△BCFは二等辺三角形な訳ですから、使うとすれば、角BFC = 角BCFを使うことは容易に想像出来ます。あとは、わざわざ直角三角形であることを問題は言ってる訳ですから、これを使って角BCF = 角DEGを言えば証明できることがわかります。後は足し算と引き算の問題です。

回答No.1

arasara

こんにちは。
難しい問題ですね。
パッと見では解答が分かりませんでした。

この手の証明問題集があるのであれば、やっておくに越したことはないでしょう（勘を養うという意味で重要！）

あと、蛇足ながら、過去問が質問者さんの眼から見て、明らかに難しいようであれば、その問題は他の人もできないから、「捨てていい問題」とも考えられますよ。

頑張って下さい。