粒子の分布とエネルギーの和

質問

相互作用の無い同種粒子がN個あり、全粒子のエネルギーの総和がUである系を考える。粒子の取り得るエネルギー準位をE1,E2,E3,..とし、N1,N2,N3,..個の準位が占められているとすると、
ΣNi＝N　　(1)
ΣEi・Ni＝U (2)
が成り立つ。（iは添え字）

↑のような文章が教科書に書いてありました。ある準位EiにNi個の粒子が占めているとすれば、その準位にある粒子のエネルギーUiはEiをNi倍してあげれば良いので、その系全体のエネルギーはU＝ΣEi・Nとなるのは分かります。ところが別の資料を読んでみると、用いているのは個数Niではなく分布関数niで表現していたのですが、本当にどちらも同じ事を表していると言えるのか疑問です。
例えばあるエネルギー準位Eiに粒子が占めている確率がni＝1/2=0.5だとすれば、そのエネルギー準位にある粒子のエネルギーは、Ui＝0.5Eiとなってエネルギーが本来の値よりも減るというような変な表現になり、ここで簡易のためにどの準位も粒子の占有確率がn＝0.5だとすると、やはり全エネルギーも減る事になります。元々はエネルギー自体が増減する訳ではありませんが、系全体で統計的に見ると粒子が占めていない確率もまた0.5なのだから、考えているエネルギー準位の単なる和ではなくそれよりも減少すると予想される。つまりU＝ΣEi・niは、数学で言うエネルギーの期待値の事を言っているのですか？

回答No.3

NemurinekoNya · ベストアンサー

ΣNi＝N　　(1)
　ΣEi・Ni＝U (2)

で、
　ni = Ni/N
なのですよ。

Ni = ni×Nだから、
（１）式は
　NΣni = N
　∴　Σni = 1　　　　（１’）

（２）式は
　NΣEi・ni = U
∴ ΣEi・ni = U/N　　　　（２’）
となる。

（２’）式を見ればわかるんだけれど、
全エネルギーUを粒子の数Nで割っているのだから、
これは粒子1個あたりのエネルギー、
つまり、
平均値・期待値です。

ですから、
☆つまりU＝ΣEi・niは、数学で言うエネルギーの期待値の事を言っているのですか？
◇はYESです。

わたしはその資料を見ていないので分からないのですが、
（２’）のU/Nのところは、小文字のuとかεと書いてあるんじゃないかな。
あるいは、
期待値や平均値を表わす＜U＞というような記号を使ってあると思います。

お礼

分かりやすかったです。有難うございました。

回答No.2

foomufoomu

＞一応、私が見た事があるのだとUi=ni・Eiと書いてあり、
では、niは確率分布でなく、度数分布（粒子個数の分布＝確率*N）なのでしょう。

回答No.1

foomufoomu

＞エネルギーは、Ui＝0.5Eiとなってエネルギーが本来の値よりも減る
niは確率で、それが1/2なので、
Ui＝(0.5N)*Ei
と書くのが正しいです。(Nは全粒子の個数)　減ったりしていません。

あと、
＞ΣEi・Ni＝U
は、Σ(Ei・Ni) ですよね。画面上では、こういうことにも気を付けないと、意味が正しく伝わりませんよ。

補足

＞Ui＝(0.5N)*Ei
と書くのが正しいです。(Nは全粒子の個数)　減ったりしていません。

一応、私が見た事があるのだとUi=ni・Eiと書いてあり、粒子数Nについての記述は無かったです。それともこれはフェルミ粒子についての話でしょうか。