熱物理学で分配関数の求め方

質問

n番目の準位のエネルギーEｎと縮重度gnがそれぞれEn=nε、gn=n（n=0,1,2・・・∞)
と記述される系がある。
（１）この系の分配関数を求めよ
（２）この系のヘルムホルツの自由エネルギーを求めよ

この問題がどうしてもわからないのでどなたか解説お願いします

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

#1のものです。

>縮重度が無い場合の分配関数Z=1/{(1-e^(-ε/τ)}であらわせることは知っているのですが
>縮重度があるばあいどのようになるのかがわかりません

上記の式は、
Z=Σ[n:0～∞]exp(-nβε)
を計算した結果です。最後の式の形だけを覚えることに何も意味はありません。
これは各エネルギー準位nεに対して状態が一つだけしかない場合の式になります。
nεの状態の数が2個なら2回、3個なら3回足せばよい。

例えば、
エネルギー　　そのエネルギーの状態数
ε1　1
ε2 2
ε3 3
ε4 2
の状態を取りうる系の分配関数Zは
Z=e^(-βε1)+e^(-βε2)+e^(-βε2)+e^(-βε3)+e^(-βε3)+e^(-βε3)+e^(-βε4)+e^(-βε4)
という具合に状態の数だけ足していけばよい。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

rnakamra

この問題がわからないようなら統計力学を基本から勉強し直さないといけません。

分配関数Zは次のように計算されます。
Z＝Σ[全てのとり得る状態i]exp(-βEi)
Ei:状態iの持つエネルギー
β：1/kT
k：ボルツマン定数
T：絶対温度
となります。

一つのエネルギー順位にn個の状態が縮重している場合は、その全ての状態について足し合わせれば良い。エネルギーが同じである以上単にその部分がn倍になるというだけです。

後は全てのnについて足し合わせるだけで良い。

ヘルムホルツの自由エネルギーFは分配関数を用いると
F=(-1/β)lnZ
となります。

補足

縮重度が無い場合の分配関数Z=1/{(1-e^(-ε/τ)}であらわせることは知っているのですが
縮重度があるばあいどのようになるのかがわかりません
もう少し詳しくお願いできませんか？