分配関数（状態和）がわかりません。

質問

統計力学とかで出てくる分配関数（状態和）がありますが、物理的な意味がよくわかってません。
Σexp(-β・ei)とありますがどういう意味なんでしょうか？

またある問題でエネルギー準位ε＝（ｎ＋１/２）ｈνのＮ個の独立な調和振動系子の系があり
この調和振動子一個に対する状態和が
Ｚ＝１/｛２sinh(hν/2kＢ・Ｔ）｝
となることを示せという問題があるんですが問題の意味すらよくわかりません。
一個に対する状態和？という感じです。
どうかお願いします。

回答No.2

guiter · ベストアンサー

＞状態というのが量をもっているわけなんですが
＞状態というのはどういう量なんですか？
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを１個振ることを考えてみます。
さいころの目がＸ(x=1～6)になる確率を P(x) とすると、
１の目が出るという状態の実現確率は P(1) などというように表すことが出来ますね。
このときの状態和は
　Ｚ＝ΣP(x)
　　＝P(1)+P(2)+…+P(6)
　　＝6*1/6
　　＝1
ということになります。

＞速度やモーメントならしっくりきますが状態というのは一体何なんでしょうか？
さいころで言うと状態は「１の目が出ること」などに対応します。
この場合は６つの状態を取り得ますね。

＞一個に対する状態和？
粒子が一個であっても e_n ＝（ｎ＋1/2）hν という結果を見れば、
基底状態 e_0 = hν/2 の状態にあるかもしれないし、
励起状態の１つ e_1 = (1+1/2)hν = 3/2*hν のエネルギー状態にあるかもしれない、
というようにとり得る状態は１つではないことがわかります。
あとは、先のさいころの例と同様に
e_0 の状態にある確率が exp(-βe_0)
e_1 の状態にある確率が exp(-βe_1)
　　　：
ですからこれらの確率の無限和をとるだけです。

この質問とは関係ないですが、
その後、相対論の理解は進みましたか？

お礼

詳しいご回答ありがとうございます。

再び誤解を解いていただきありがとうございました。
何かと勘違いしてしまいそのまま進んで後から考えて悩んでしまいそのつど時間をとられてしまいます（涙）。

＞その後、相対論の理解は進みましたか？

どうもその節は。一時はテンソルにくじけそうになりましたがとろいスピードで勉強してます。ではこれからもよろしくお願いします。

回答No.1

siegmund

系の固有状態に番号 i をつけて，i 番目の固有状態のエネルギーが e_i，
β=1/kT (k はボルツマン定数) とするとき
(1)　　Z = Σ_i exp(-β e_i)
が分配関数の定義ですね．
正準集合で，エネルギーが e_i の状態の実現確率はボルツマン因子
(2)　　exp(-β e_i)
に比例します．
実現確率を１に規格化するために(1)の計算が必要ですね．

でも，Z は単に規格化因子以上の意味を持っていて
(2)　　F = - (1/β) ln z
でヘルムホルツ自由エネルギーが求められます．
F がわかれば偏微分で次々熱力学的量が求められます．

調和振動子１個を持ってきて適当な時間間隔でエネルギーを測定してもいいし
(熱浴との相互作用があるから，状態は刻々変わります)，
沢山の調和振動子をもってきて同時にエネルギーの分布を測定してもよい．
両方が同じ結果を与えるというのが，いわゆるエルゴード仮説です．
同じ粒子がＮ個なら分配関数は１個の場合の分配関数のＮ乗です．
ＺがＮ乗になれば，(2)からＦはＮ倍になりますから，
Ｆの示量性(粒子数が２倍になれば自由エネルギーも２倍ということ)
と適合します．
Ｚ＝１/｛２sinh(hν/2kＢ・Ｔ）｝
の導出については
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=116515
の私の回答をご覧下さい．

お礼

詳しいご回答どうもありがとうございます（返信遅れてすいません）。
実はまだよく状態和のことがわかりません。というのは「状態」というもの
自体よくわかっていません。
まず
Z = Σ_i exp(-β e_i)
が1粒子の状態の和なんですよね。ということは状態というのが量をもっている
わけなんですが状態というのはどういう量なんですか？
速度やモーメントならしっくりきますが状態というのは一体何なんでしょうか？