平面の方程式、ｄが持つ意味？

質問

ax + by + cz + d = 0

・・・という一般式の、「ｄ」に、何か意味を見出すことはできるでしょうか？

1次関数／2次関数のグラフの式や、　円の方程式では、
こういった　ｄのようなしっぽのような部分が、切片や半径など、意味を持っているので、

平面に関しても、何かないかなと考えたのですが・・・。

回答No.2

akinomyoga · ベストアンサー

d は "平面と座標原点の距離" と対応しています。

もう少し詳しく書くと、

(1) (a, b, c) が平面の法線ベクトルです。

(2) |d|/|(a, b, c)| が "平面と原点の距離" になります。つまり、原点から平面に垂線を降ろした時の、垂線の長さです。
　但し、|(a, b, c)| = √(a^2+b^2+c^2) (法線ベクトルの長さ) です。
　法線ベクトル (a,b,c) が既に規格化されている場合 (|(a,b,c)|=1 の場合) は、単に |d| が "平面と原点の距離" です。

(3) d の符号は、原点が平面の表側にあるか裏側にあるかに対応しています。
　d が正の時は、原点は平面の表側(平面から見て法線ベクトルの方向)にあります。
　d が負の時は、原点は平面の裏側(法線ベクトルと逆の方向)にあります。

お礼

スッキリしました。
箇条書きにてわかりやすく…どうもありがとうございます！

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

式を√(a^2+b^2+c^2)で割ると

(a/√(a^2+b^2+c^2))x + (b/√(a^2+b^2+c^2))y +
(c/√(a^2+b^2+c^2))z =-d/√(a^2+b^2+c^2)

これは平面と原点との距離を表しています。

平面と原点との距離とは、平面上で原点に最も近い点と原点との距離です。

正負があるのは方線ベクトル(a,b,c)/(a^2+b^2+c^2)と同じ方向を正、
逆方向を負としているからです。

お礼

どうして　距離を表すのか・・・その過程がわかりました。
どうも、ありがとうございます！

回答No.3

Willyt

d=0 とするとその平面は原点を中心として任意の角度で回転させた平面すべてを表すことができる式になります。ｄがゼロではないときはｘ、ｙ、ｚの各軸に原点からそれぞれ -d/a, -d/b, -d/c 進んだ点をプロットすると、この三点を結ぶ三角形が作る平面をこの式が表すことになります。

お礼

三点が決まることで、平面が決定されますからね…。

ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.1

noname#215361

ax+by+cz+d=0において、c=0の場合には直線の方程式になるので、d=0であれば原点O（0,0）を通り、d≠0であれば原点O（0,0）を通らない（切片を持つ）ことになります。
また、ax+by+cz+d=0において、d=0であれば原点O（0,0,0）を通り、d≠0であれば原点O（0,0,0）を通らないことになります。
さらに、ax+by+cz+d=0において、y=z=0とするとx=-d/a（a≠0）となり、x軸に垂直な平面であることが分かります。（この点において、dは切片的な意味合いを持ちます。）
これでは、回答になっていませんか。

お礼

いいえ。とても分かりやすい回答です。
早速のご回答を、どうもありがとうございます！