円の方程式

質問

点A(8,6)を通り、y軸と接する円のうちで、半径が最も小さい円の方程式を求めよ。

のわかりやすい解説をお願いします！(>_<)
回答を読んでもいまいちわからなかったので、よろしくお願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

どういう回答なのか判りませんが、

直感的には、この円の周上にある点のうち、点Aが一番ｙ軸から離れている
ときが半径が最小になる気がします。点Aからｙ軸に垂線を引くと、ｙ軸との
交点は（０，６）なので円の中心は（４，６）、半径は４なので、円の式は
（ｘ－４）＾２＋（ｙ－６）＾２＝１６

これでは直感的に過ぎるので、求める円の中心を（ｒ、ｓ）とすると、この円の
式は
（ｘ－ｒ）＾２＋（ｙ－ｓ）＾２＝ｒ＾２
です。この円はｙ軸に接するので、中心のｘ座標が半径と等しくなります。
また、この円が（８，６）を通ることから
（８－ｒ）＾２＋（６－ｓ）＾２＝ｒ＾２
６４－１６ｒ＋（６－ｓ）＾２＝０
１６ｒ＝（６－ｓ）＾２＋６４
ここでｒをｓの関数と考えてその最小値を求めると、
６－ｓ＝０のときが最小で、そのときｒ＝４です。よって求める円の式は
（ｘ－４）＾２＋（ｙ－６）＾２＝１６

お礼

わかりやすい解説をありがとうございました！！また機会がありましたらよろしくお願いします。

回答No.4

hashioogi

y軸に接する円の方程式は
(x-a)^2+(y-b)^2=a^2
点Aを通るので
(8-a)^2+(6-b)^2=a^2
bに関して整理すると
b^2-12b-16a+100=0 式 (1)
ここで、A=1、B=-12、C=-16a+100として
判別式D=B^2-4ACを計算する。
bは実数でなければならないからD≧0
これを計算すると、
a≧4になるので、一番小さい半径はa=4
これを式(1)に代入して計算すればb=6
だから
(x-4)^2+(y-6)^2=16

お礼

他の方とはまた違った解き方で、とても参考になりました！ありがとうございました。

回答No.3

noname#215361

ANo.2の補足です。
r＜4として、円が点A(8,6)を通るようにすると、なぜy軸には絶対に接しなくなるかの証明です。
点A(8,6)を中心として、ｙ軸に接する円を考えます。
その円の方程式は(x-8)^2+(y-6)^2=64になります。
r＜4として、点A(8,6)を通る円は、必ず上の円の内部に存在するので、y軸には絶対に接しなくなります。

お礼

補足説明まで加えてくださり、ありがとうございました！

回答No.2

noname#215361

自分も直感的には前の方と同じように考えたのですが、あまりにも安直だと思ったので、しばらく様子を見ていました。
円がy軸とx=8の間にちょうど収まる（両方に接する）場合に、半径rが最小になります。
このとき、二つの接点は(0,6)と点A(8,6)になり、中心は(4,6)、半径r=4です。
ここでr＜4として、円が点A(8,6)を通るようにすると、y軸には絶対に接しなくなります。
よって、円の方程式は(x-4)^2+(y-6)^2=16になります。

お礼

わかりやすい解説をありがとうございました！！また機会がありましたらよろしくお願いします。