交代行列

質問

実行列Aが交代行列のとき、I+Aは正則であることを証明せよ。
この問題が分かりません。よろしくお願いします。

回答No.3

reiman · ベストアンサー

IのことをEと書いてしまったので修正：

Aをn次としxを0でないn次実列ベクトルとする
(I+A)^T(I+A)は実対称行列である
x^T(I+A)^T(I+A)x
=x^T(I+A^T+A+A^TA)x
=x^T(I-A+A+A^TA)x
=x^T(I+A^TA)x
=x^Tx+(Ax)^T(Ax)
=∥x∥^2+∥Ax∥^2≧∥x∥^2＞0
よって(I+A)^T(I+A)は正値である
よって(I+A)^T(I+A)の固有値は全て正である
よって(I+A)^T(I+A)は正則である
よって(I+A)は正則である

お礼

回答ありがとうございます。
「(I+A)^T(I+A)は正則であれば(I+A)は正則である」と
いう部分がわからなかったのですが、これはどうしてでしょうか？

回答No.5

sunflower-san

一般に行列 A, B に対して A+B の固有値は A と B の固有値の和になるわけではありません。重要なのは、A, B が可換であることです。可換な行列は同時に対角化(やジョルダン標準化)ができるので、A+B の固有値は A, B の対応する固有値の和になります。

お礼

なるほど！理解できました。回答ありがとうございます。

回答No.4

reiman

「(I+A)^T(I+A)は正則であれば(I+A)は正則である」と
いう部分がわからなかったのですが、これはどうしてでしょうか？ ー＞

det((I+A)^T(I+A))=det((I+A)^T)det(I+A)≠0
だから
det(I+A)≠0
よってI+Aは正則

回答No.2

sunflower-san

交代行列の固有値は全て純虚数なので、I+Aの固有値は全て実部が1の複素数になりますよね。ということはどの固有値も0では無いので、det(I+A) ≠ 0 。つまり I+A は正則です。この説明で分かりますか？

お礼

I+Aの固有値は、Aの固有値にそれぞれ１を足したものだと思いますが、
例えば、A+Bの固有値は（Aの固有値）＋（Bの固有値）ということなのでしょうか？

回答No.1

reiman

Aをn次正方行列とする
xをn次列ベクトルとすると
x^T(A^TA)x=∥Ax∥^2≧0
よって実対称行列A^TAは非負値なのでAの固有値は全て0以上である
よってE+A^TAの固有値は全て正でありE+A^TAは正則である
(E+A^T)(E+A)=E+A+A^T+A^TA=E+A-A+A^TA=E+A^TA
であるから
(E+A^T)(E+A)は正則である
よってE+Aは正則である