面積分

質問

次の面積分を解いてください。 ∫[s]A[→]•dS[→]=∫[D]A[→]•n[→]/n[→]•k[→]dxdy を使って、

∫[S] (xe_x[→]+ye_y[→]+ze_z[→])•dS[→] S:円柱面 y^2+z^2=4,0≦x≦1,z≧0 を解いてください。
n[→]はSの法単位ベクトルです。
答えは4πになります
お願いします。

回答No.1

muturajcp

円柱面
S={(x,y,z)|y^2+z^2=4,0≦x≦1,z≧0}
上の点
(x,y,z)∈S
での単位法ベクトルは
n=(0,y/2,z/2)
でそれとベクトル場
A=(x,y,z)
の内積は
(A,n)=(y^2+z^2)/2=2
z軸方向単位ベクトル
k
と単位法ベクトル
n
の内積は
(n,k)=z/2≧0
で
y^2+z^2=4
z^2=4-y^2
z=√(4-y^2)
だから
(n,k)={√(4-y^2)}/2≧0
0≦x≦1
-2≦y≦2
だから
∫_{S}A・dS
=∫_{-2～2}∫_{0～1}{(A,n)/(n,k)}dxdy
=∫_{-2～2}∫_{0～1}{2/(n,k)}dxdy
=4∫_{-2～2}∫_{0～1}{1/√(4-y^2)}dxdy
で
y=2sint
とすると
dy=2costdt
-2≦y≦2
だから
-π/2≦t≦π/2
y^2=4(sint)^2
4-y^2=4(cost)^2
√(4-y^2)=2cost
1/√(4-y^2)=1/(2cost)
{1/√(4-y^2)}dy=dt
だから
4∫_{-2～2}∫_{0～1}{1/√(4-y^2)}dxdy
=4∫_{-π/2～π/2}dt∫_{0～1}dx
=4π