重積分が発散するかどうかの問題です。

質問

S_n=∫_{a→n}=∫_{a→n}h(x,y)dxdy, ここで
h(x,y)=x^2y^2/{f(x)f(y)}[{(xE(y)^2-yE(x)^2)^2+4xyE(x)^2E(y)^2}/{E(x)^4E(y)^4}]1/H(x,y),
f(x)=√(x^2+c^2), E(x)=x^2/(2m)+f(x), H(x,y)=(x^2+y^2+2dxy)/(2m)+f(x)+f(y), c>0, m>0, -1≦d≦1
とする。
n→∞としたときS_nは発散するか否か。発散するとしたらnのどのようなオーダーで発散するか？
という問題の解説をお願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

c>0
m>0
-1≦d≦1
f(x)=√(x^2+c^2)
E(x)=x^2/(2m)+f(x)
H(x,y)=(x^2+y^2+2dxy)/(2m)+f(x)+f(y)
h(x,y)=[x^2y^2/{f(x)f(y)}][{(x{E(y)}^2+y{E(x)}^2)^2}/{[E(x)]^4[E(y)]^4}]1/H(x,y)
S_n=∫_{a→n}∫_{a→n}h(x,y)dxdy
とする
f(x)>0
E(x)>0
H(x,y)={(|x|-|y|)^2+2(1+d)|xy|)/(2m)+f(x)+f(y)>c>0
だから
h(x,y)>0

b=|a|+1
r=|a|+1+c+m
とする

b<y<r<xの時
0<c<r<xだから
c^2<x^2
0<x^2+c^2<2x^2<4x^2
0<f(x)=√(x^2+c^2)<2x
1/f(x)>1/(2x)

0<m<r<xだから
mx<x^2
0<f(x)<2x<2x^2/m
0<E(x)<x^2/(2m)+2x^2/m=5x^2/(2m)
1/E(x)>2m/(5x^2)
1/{E(x)}^4>16m^2/(625x^8)

0<b<y<r<xだから
0<H(x,y)
={(|x|-|y|)^2+2(1+d)|xy|}/(2m)+f(x)+f(y)
<{9+2(1+d)}x^2/(2m)
1/H(x,y)>2m/[{9+2(1+d)}x^2]

E(x)>x^2/(2m)
{E(x)}^2>x^4/(4m^2)
y{E(x)}^2>bx^4/(4m^2)
x{E(y)}^2+y{E(x)}^2>bx^4/(4m^2)
(x{E(y)}^2+y{E(x)}^2)^2>b^2x^8/(16m^4)
x^2{(x{E(y)}^2+y{E(x)}^2)^2}>b^2x^10/(16m^4)

B=b^2/(625{9+2(1+d)}m)
とすると
∫_{r→n}x^2{(x{E(y)}^2+y{E(x)}^2)^2}/[f(x)({E(x)}^4)H(x,y)}]dx
>b^2/(625{9+2(1+d)}m)∫_{r→n}(1/x)dx
=B[logx]_{r→n}
=B(logn-logr)

K=B∫_{b→r}(y^2/[f(y){E(y)}^4])dy
とすると

h(x,y)>0
だから
S_n=∫_{a→n}∫_{a→n}h(x,y)dxdy
>∫_{b→r}∫_{r→n}h(x,y)dxdy
=∫_{b→r}(y^2/[f(y){E(y)}^4])∫_{r→n}x^2{(x{E(y)}^2+y{E(x)}^2)^2}/[f(x)({E(x)}^4)H(x,y)}]dxdy
>B(logn-logr)∫_{b→r}(y^2/[f(y){E(y)}^4])dy
=K(logn-logr)

lim_{n→∞}S_n≧lim_{n→∞}K(logn-logr)=∞
だから
S_nはlogn以上のオーダーで発散する

お礼

素晴らしい解答、ありがとうございました。