ベクトル場の縦成分と横成分

質問

量子論について，書籍を呼んで勉強していますが，分からない記述が出てきたので教えて下さい．

　任意の，波数を変数とするベクトル場を V (k) とします．このときヘルムホルツの定理より
　　　V (k) = V_{T} (k) + V_{L} (k) ……(1)
と縦成分と横成分について分解でき
　　　V_{T} (k) = {k × V (k)} × k / |k|^2 ……(2)
　　　V_{L} (k) = {k・V (k)} k / |k|^2 ……(3)
と表現できます．これが本当かどうか確認しようとしたのですが，行き詰っています．
　式 (2) に対してベクトル 3 重積の公式を使えば，式 (1) を証明できることまでは分かったのですが
　　　∇・V_{T} (k) = 0 ……(4)
　　　∇×V_{L} (k) = 0 ……(5)
が証明できません．

　k が位置 r に依存しないことから，∇× k = 0 が成り立つと考えれば，式 (5) は証明できます．しかし同様にして V (k) が k にのみ依存することから，V (k) が r に依存しないと考えれば，∇・V(k) = ∇×V (k) = 0 も成り立つということになってしまいます．これは，何か間違っているような気がします．

　どうか，御教授をお願いします．

回答No.1

Drunk · ベストアンサー

ベクトルを2方向に分解するだけなので、微分は関係がありません。（以下、"~"がベクトルを表すものとします）
~Vを~kと平行な方向と垂直な方向に分解することを考えます。内積と外積の定義を思い起こしてください。
~aと~bの成す角度をθとすれば、
(~a・~b)=|~a||~b|cosθ
(~a×~b)=(|~a||~b|sinθ)~c　ただし、~cは~aおよび~bに垂直な単位ベクトル（向きも決まっていることに注意）
~kと同じ向きの単位ベクトルが~k/|~k|と表されるので、平行成分は、内積を使って、
~V_{L}= {(~k/|~k|)・~V} (~k/|~k|)
右辺の{}内が分解したベクトルの絶対値になっています。
垂直成分は、外積を使って、
~V{T}= {(~k/|~k|)×~V}× (~k/|~k|)
右辺の{}内の絶対値が分解したベクトルの絶対値になっています。{}の部分だけでは、~Vと~kに垂直な向きを向いているので、もう一度(~k/|~k|)かけて、~Vと~kを含む平面内にあり、かつ~kに垂直な方向に直しています。

図があれば説明しやすいのですが、分かりましたでしょうか？

お礼

丁寧に説明してくださり，ありがとうございました．とても良く分かり，スッキリしました．