制約条件付き極値問題について

質問

ｘ＾２+ｙ＾２＝１のすぃやく条件のもとで

x^2+y^2-x

の極値について調べなさいという問題です。

ラグランジュを利用しさらに行列を考えてという行程はわかるのですが問題が解けません。

よろしくお願いいたします。

回答No.4

stomachman

x^2+y^2=1のすぃやく条件のもとでは
　　x^2+y^2-x = 1-x
です。また、同じすぃやく条件から、
　　|x|≦1
であり、従って
　　0≦ 1-x ≦2
である。1-x=0のときも、1-x=2のときも（どっちも|x|=1だから）x^2+y^2=1のすぃやく条件からy=0。

　というわけで、ラグランジュの未定乗数法どころか、微分も要らない。

回答No.3

hashioogi

x^2+ｙ＾2＝1のすぃやく条件のもとでは
x=cosθ
y=sinθ
と置けて、
f(θ)=cos^2(θ)+sin^2(θ)-cos(θ)=1-cos(θ)

従って
df/dθ=sin(θ)

θ=0とπのとき極値を取る。つまり
(1,0)と(-1,0)で極値を取る。

(1,0)ではx^2+y^2-x=0
(-1,0)ではx^2+y^2-x=2

お礼

ありがとうございます

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

h(x, y, λ)=x^2+y^2-x + λ(x^2+y^2-1)

∂h/∂x=2x - 1 + 2λx=0
∂h/∂y=2y - 0 + 2λy=0
∂h/∂λ=x^2+y^2-1=0

なので y = 0, x=±1

x^2+y^2-x は x=1 で 0, x=-1 で 2 なので
条件が円形であることを考えあわせると

x=-1 が極大、x=1 が極小点です。

回答No.1

transcendental

F(ｘ、ｙ）＝ｘ＾２＋ｙ＾２－１＝０、
ｆ（ｘ、ｙ）＝ｘ＾２＋ｙ＾２－ｘ
とすると、
∂ｆ/∂ｘ－λ・∂F/∂ｘ＝０より、
　２ｘ－１－λ・２ｘ＝０、
∂ｆ/∂ｙ－λ・∂F/∂ｙ＝０より、
　２ｙ－λ・２ｙ＝０、
これらから、
（ｘ、ｙ、λ）＝（１、０、１/２）、（－１、０、３/２）
を得ます。０≦ｆ（ｘ、ｙ）≦２．
となります。
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