P進数でのlog 2

質問

Qp での exp, log という関数について、
exp(x) = Σ[k=0,∞]x^k/k!
log(x) = -Σ[k=1,∞](1-x)^k/k
だということは分かったのですが、
この級数の収束範囲外の値が分かりません。
exp(-x) = 1/exp(x)
log(1/x) = -log(x)
は使えますか？
できれば、より一般的な方法を教えてください。

Q_2, Q_3 などでの log 2 の値を求めるのが目的です。

回答No.1

sunflower-san · ベストアンサー

おはようございます。

まず、p進の世界ではexpはQp全体では定義されません。pZp上の関数です。
一方でlogはQp全体で定義されます。
この辺は実、複素の世界と大きく違います。
例えば複素数の世界ではexpは全ての複素数に対して定義されるのに、logの方は局所的にしか定義されません。

さて、expは級数の定義される範囲でしか定義できないので、logがどのようにQp全体で定義されるかを説明します。

まず、一般のQpの元xに対してx=p^m×x' (m=ordp(x)∈Z, x'∈(Zp)*)と書いておけば、
log(x)=log(p^m×x')=m×log(p)+log(x')=log(x')
(ここでlog(p)の取り方の任意性が有りますが、通常log(p)=0と考えます。)
また、x'∈(Zp)*のときx'^(p-1)∈1+pZpであること(Fermatの小定理)
より x'^(p-1)=1+p×x'' とおけば、

log(x')
=1/(p-1)×log(x'^(p-1))
=1/(p-1)×log(1+p×x'')
=-1/(p-1)×Σ[n=1..∞](-p×x'')^n/n
最後の式はp進位相において絶対収束するので、こうしてQp全体でlog(x)が定義できるというわけです。

お礼

回答ありがとうございます。
分かりやすい説明でした。

ただ一点だけ、
> logはQp全体で定義されます。
とあったので、log 0 は何になりますか？

回答No.2

sunflower-san

補足です。log(2)の計算例をp=3,5,7辺りで書いておきます。

Q_2では
log2=0

Q_3では、
log2
=1/2 log(4)
=1/2 log(1+3)
=1/2 (3/1 -3^2/2 +3^3/3 -3^4/4 +・・・)
=2・3^1 +2・3^2 +3^5 +3^6 +2・3^8 +3^9 +・・・

Q_5では、
log2
=1/4 log(16)
=1/4 log(1+15)
=1/4 (15/1 -15^2/2 +15^3/3 -15^4/4 +・・・)
=2・5^1 +3・5^2 +2・5^3 +4・5^4 +2・5^6 +・・・

Q_7では、
log2
=1/6 log(64)
=1/6 log(1+63)
=1/6 (63/1 -63^2/2 +63^3/3 -63^4/4 +・・・)
=5・7^1 +5・7^2 +2・7^3 +4・7^4 +6・7^5 +5・7^7 + 7^8 +・・・

など。参考にどうぞ。