確率関数の問題(苦手）

質問

どうも統計学が苦手なので助けて下さい！
Xの確率関数が次式で与えられている
fX(k)=a*exp(-k+2) (k=0,1,2,3..)
(1)aの値を求めよ
(2)Xの分布関数をFX(x)とするとき、FX(2),FX(2.9),FX(3.1)を求めよ。
(3)E(X)を求めよ。
という問題なんですが、aすら求まらず困っています。
与式の無限級数の和が1になることが使えそうなのですが、、、

また全く別問題なんですが、Xの確率密度が
fX(x)=(x/4)*exp(-x/2) (x≧0)
=0 (x<0)
で与えられている場合、Xの分布関数はfX(x)を(0～xで）
積分した式でよろしいでしょうか？
お願いします！

回答No.1

Rossana · ベストアンサー

なんか離散型確率分布なのか連続型確率分布なのか式の表記方法がいまいちはっきり分かりません（例えば，fX(k)とか．）ので，以下の回答は離散型確率分布と考えて解きます．間違っているかもしれませんから参考程度にご覧下さい．
(1)Σ[k=0 to ∞]fX(k)=1より
ae^2Σ[k=0 to ∞]e^(-k)=1
ae^2{1/(1-e^(-1)}=1
ここからaを求めます．
(2)（注；[x]はガウス記号です．ex.[2]=2,[2.9]=2,[3.1]=3）
FX(x)=Σ[k=0 to [x]]fX(k)
=ae^2Σ[k=0 to [x]]e^(-k)
=ae^2[{1-e^(-[x]-1)}/(1-e^(-1)]
(3)E(X)=Σ[k=0 to ∞]kfX(k)

>また全く別問題なんですが、Xの確率密度が
>fX(x)=(x/4)*exp(-x/2) (x≧0)
>=0 (x<0)
>で与えられている場合、Xの分布関数はfX(x)を(0～x
>で）
>積分した式でよろしいでしょうか？
その通りです．この場合は連続型確率分布なのでΣでなく∫になるわけです．
具体的に式で表わすと
FX(x)=∫[t=0 to x]fX(t)dt
となります．

お礼

お答え有難うございます！
aを求めるのは無限級数の性質を使うんですね！ご指摘の通り離散型確率分布なのか連続型確率分布なのかよく分かってなかったので連続型で考えて、区分求積法でも使うんじゃないのかと思ってずっと悩んでいました。。。
本当に有難うございます！