素因数分解と分数
以下の問題を解いていて、解答に納得がいかないので教えてください。
問）a_1,...,a_n(n>1)を0でない整数とする。ある整数pと正の整数hとが存在して、
a_1,...,a_nのうちの一つのa_iだけがp^hで割り切れ、他のa_jはどれもp^hでは割り切れないとする。そのとき、
S=1/a_1+1/a_2+...+1/a_n （＊）
は整数でないことを証明せよ
解）「a_iを割り切る最大のべきをp^k」とし、mをa_1,a_2,...,a_i/p^k,...,a_nの最小公倍数とする。（＊）の両辺をm倍すると、右辺のm/a_i以外の項は整数だが、mはp^hで割り切れないのでm/a_iは整数でない。
ここで不思議に思ったのは、「」の部分でなぜ最大のべきを置いたかです。
m'として、a_1,a_2,...,a_i/p^h,...,a_nの最小公倍数としても問題ないと思います。
a_iにp^hで割っていること、p^hの素因数をa_i以外がもたないこと、この二つから、
m'のpの指数はa_iのpの指数（p^k)を超えることはないのではないかと思います。
これで、m'/a_iが整数でないことが示せると思います。
大変長く、わかりにくくなってすみません
何か自分が勘違いしているのか、他に見逃しているところがあるのか教えてください。
お礼
とてもわかりやすいご回答ありがとうございます。助かりました。感謝致します。