数学得意な人に質問です。平均の平均について

質問

値の個数nで割った普通の相加平均と、値の個数nを分割して平均して更にその平均値を相加平均した場合は同じ値になるのでしょうか。
例えば10,000個の数字を全部加算して10,000で割った平均と、10個ずつで相加平均をだし、その平均値1000で更に相加平均をすれば理論的には同じ値になるのでしょうか？

回答No.1

hg3 · ベストアンサー

同じです。

式で考えれば分かります。
各値をX(1),X(2),・・・X(10000)とし、
X(1)～X(10)までの平均値をA(1)、X(11)～X(20)までの平均値をA(2)以下同様にA(1000)まで考えます。

A(1)～A(1000)までの平均値は、A(1)+A(2)＋・・・＋A(1000)/1000　です。

A(1)={X(1)+X(2)+・・・+X(10)}/10です。

よって、
A(1)+A(2)＋・・・＋A(1000)/1000
＝[{X(1)+X(2)+・・・+X(10)}/10＋・・・＋{X(9991)+X(9992)+・・・+X(10000)}/10]/1000
＝[{X(1)+X(2)+・・・+X(10000)｝/10]/1000
＝{X(1)+X(2)+・・・+X(10000)｝/10000

となりますから、X(1),X(2),・・・X(10000)の相加平均と同じです。

しかし、相加平均を10個づつ1000回でなく、例えば最初2000個、次は3000個、その次に5000個を平均してその3つの平均値を平均すると違ってきます。
これも上記のように式で考えれば分かります。
書くのが面倒なので省略しますが、ご自身でご確認下さい。

お礼

なるほど、ありがとうございました