有限なべき級数
調和振動子の波動関数はψ(x)は次式で表される。
ψ(x)={e^(-(ξ^2)/2)}*f(ξ) [ ξ=αx, α=√{(mω)/(h/2π)} ]
f(ψ)=Σ(k=0→∞)(C_k)*(ξ^k)
C_(k+2)=[(2k-η)/{(k+2)(k+1)}]*C_k
ここでもし、f(ψ)が無限級数であるとすると、ψ(x)~e^{(α^2x^2)/2}となり、lim[x→±∞]ψ(x)=∞となり(|ψ(x)|)^2が確率密度となる必要条件に反する。
従ってf(ψ)は有限級数とする必要がある。
ここでC_(k+2)=[(2k-η)/{(k+2)(k+1)}]*C_kに着目する。η=2n(nは0以上の整数)とおくと、C_(k+2)=[(2k-2n)/{(k+2)(k+1)}]*C_kとなる。この式において、k=0,1,2•••と変化させるとk=nの時C_(n+2)=0となり、これ以降C_(n+4)+C_(n+6)+C_(n+8)=•••=0となり、f(ξ)は有限なべき級数となる。
質問です。
C_(k+2)=[(2k-2n)/{(k+2)(k+1)}]*C_kの式において、k=0,1,2•••nと変化させるとk=nのときC_(n+2)=0となり、続いて
C_(n+4)+C_(n+6)+C_(n+8)=•••=0になるのは分かりますが、C_(n+3),C_(n+5),••••については0にならないのではないでしょうか？例えばn=3のとき、C_5,C_7,C_9=••••の方は=0となりますが、C_6,C_8については0にならず、f(ξ)=C_0+(C_1)ξ+(C_2)ξ^2+(C_3)ξ^3+(C_4)ξ^4+0+(C_6)ξ^6+0+(C_8)ξ^8+••••となって、f(ξ)は有限な値に落ちつかないのではないかと考えているのですが、詳しい方教えてください。
