ひずみエネルギー 材料力学の問題

質問

次の問題がわからなくて困ってます。わかる方がいましたらご教授お願いします。

[問題]
図のように棒の頭部と固定板の間にコイルばねを入れ、高さh[mm]から重さW[N]のおもりを落としたとき、コイルばねと棒に加わる力Fを求めなさい。
ただし、ばねの縮みをδ[mm],バネ定数をk[N/mm],棒の長さをl[mm]、断面積A[mm^2],縦断面係数をE[N,mm^2]、衝撃時の棒の伸びをλ[mm]とする。

　弾性エネルギー＝失った位置エネルギーとつりあいから

　W(h+λ+δ）=W^2l/2AE+kδ^2/2　　　（おもりの落下距離h+λ+δ）

としてδを求めてからF=kδとして答えを求めたのですが、参考書の解答と異なります。

参考書の答えはF=W(1+√{1+(2AEhk)/(W(AE+kl))})です。

回答No.3

superkamecha · ベストアンサー

ANo.2です。

＞D＝δ＋λだと上の式のようにD^2＝δ^2＋λ^2とはならないのではないでしょうか？

はい。そうはなりません。それぞれのバネ定数をかけないと、成立しません。
AE/L＝ｋ’としますと、成立するのは、
KD＾２＝ｋδ＾２＋ｋ’λ＾２
という式です。

F=KD＝ｋδ＝ｋ’λ　は前回回答に書きましたが、
これにDをかけると、
KD^2=FD＝F(δ＋λ）＝ｋδ・δ＋ｋ’λ・λ
なのです。

お礼

なるほどですね。どうもありがとうございました。

回答No.2

superkamecha

こんにちは。

ご提示のエネルギー式には、未知数λが残っていますが、これの消去の演算のどこかでミスなさっていませんか？

それより、この２つのバネ；ＡＥ／Ｌとｋとを、直列合成
（例の●■／（●＋■）の形）して一つのバネとして扱うほうが楽です。
これをＫとし、変位量も、δ＋λ＝Ｄとでも置くと、
Ｆ＝ＫＤ　（＝ｋδ＝ＡＥ／Ｌ・λ）　が成立していますし、エネルギ式も
Ｗ（ｈ＋Ｄ）＝（１／２）ＫＤ＾２　と簡素化されます。

このＤの２次方程式を解の公式で解いて、ＫＤを計算するほうが、簡単ですよ。

お礼

1/2(A・E/L)・λ^2 + 1/2 k・δ^2を（１／２）ＫＤ＾２の形にするということでしょうか？

D＝δ＋λだと上の式のようにD^2＝δ^2＋λ^2とはならないのではないでしょうか？

回答No.1

foomufoomu

＞弾性エネルギー＝位置エネルギー　とつりあいから
位置エネルギー　W(h+λ+δ)　・・・OK
弾性エネルギー　Σ(1/2・K・ｘ^2)= 1/2(A・E/L)・λ^2 + 1/2 k・δ^2 ・・・これが違う
これよりλ、δを求めておいて
力　F = (A・E/L)・λ = k・δ (バネ、棒、のどちらかで計算すればよい)

になるとおもいます。あとは自分でといてみてください。

お礼

W(h+λ+δ)=1/2(A・E/L)・λ^2 + 1/2 k・δ^2 ということでしょうか
?