有限集合の定義って? {1,2,…}は有限集合?
無限の公理は
∃A;[(φ∈A)∧((¬(x∈A))∨(x∪{x}∈A))]
というものなので
集合Aが無限集合の定義は「(φ∈A)∧(¬(x∈A)∨(x∪{x}∈A)」ですよね。
すると、有限集合の定義は無限集合ではないもの
即ち
Aが有限集合であるとは「¬[(φ∈A)∧(¬(x∈A)∨(x∪{x}∈A)]」
と言う風に書けると思います。
¬[(φ∈A)∧(¬(x∈A)∨(x∪{x}∈A)]は
¬(φ∈A) ∨ ¬(¬(x∈A)∨(x∪{x}∈A))と書け、
¬(φ∈A) ∨ ((x∈A)∧¬(x∪{x}∈A))
したがって、
(Aはφを含まない) ∨ (x∈A)∧(Aはx∪{x}を含まない)
となってしまい、自然数全体の集合から0を差し引いたN\{0}という集合
{φ∪{φ},(φ∪{φ})∪{φ∪{φ}},…}は有限集合となってしまいますよね。
(∵この集合はφを含んでいないので)
でもこれを有限集合とは到底思えませんよね。
一体何処から間違っているのでしょうか?