楕円面のパラメーター表示の問題

質問

楕円面のパラメーター表示において0＜a＜b＜cと仮定します。以下の問ではxz平面との交わり(v=0,π)の各点において考えます。楕円面のパラメーター表示は
X(u,v)=
acosu・cosv
bcosu・sinv
csinu
で与えられます。

問1
(i)第1基本変形を計算してください。
(ii)単位法ベクトルがxz平面の含まれる事を確かめて、
(iii)さらにxz平面との交わりは測地線である事を確かめてください。

問2
(i)第2基本変形を計算してください。
(ii)xz平面との交わりは常に主方向を含んでいる事を確かめてください。

問3
(i)xz平面との交わりはちょうど4点の臍点(せいてん)を含み、それ以外の各点は楕円点である事を確かめてください。
(ii)楕円点は臍点(せいてん)の前後では性質を異にします。どう変わるでしょうか。
(iii)臍点(せいてん)の接平面と平行な平面で楕円面を切ると、断面は円になる事を確かめてください。

という問題で、テキストに解答しか書かれていないので途中計算やなぜそれが成り立つのかという根拠がわかりません。途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。すべての回答でなくていいのでご回答宜しくお願いします。

なおテキストの解答には以下のように書かれています。
v=0,cosu＞0の場合(v=πの時も同様、符号が変わります。)
問1
(i)g=(a^2・sin^2・u+c^2・cos^2・u)(du)^2+b^2・cos^2・u(dv)^2
(ii),(iii)は書かれていません。

問2
(i)φ=ac/√(a^2sin^2・u+c^2cos^2・u)・(du)^2+ac・cos^2・u/√(a^2sin^2・u+c^2・cos^2・u)(dv)^2
(ii)g12=0,H12=0ですから、u方向、v方向が主方向。

問3
(i)この場合の臍点(せいてん)の条件はH11/g11=H22/g22
これを解くとb^2=a^2sin^2・u+c^2cos^2・u
したがって、臍点(せいてん)は
(±a√｛(b^2-a^2)/(c^2-a^2)｝,0,±c√｛(c^2-b^2)/(c^2-a^2)｝)(※複合同順ではない)の4点です。
臍点(せいてん)以外ではκ1=H11/g11≠κ2=H22/g22ですから、両方正で、したがって、楕円点。
(ii)臍点(せいてん)の前後で大小が変わりますから、楕円の長径、短径が入れ替わります。
(iii)臍点(せいてん)の接平面と平行な面は√(b^2-a^2)/a・x+√(c^2-b^2)/c・z=kで表され、これらと接平面の交わりは円である事がわかります。

回答No.2

info222_

No.1です。

問1の(ii)
>単位法ベクトルがxz平面の含まれる事を確かめて
単位法ベクトルのy成分=0を示せば良いでしょう。

楕円面の陰関数表現

　x^2/a^2 +y^2/b^2 +z^2/c^2 = 1

の式の　全微分をとると

　(2x/a^2)dx +(2y/b^2)dy +(2z/c^2)dz = 0

楕円面とxz平面の交線上の点(a cos(m), 0, c sin(m)) (0≦m＜2π)における
法ベクトルは

　(cos(m)/a, 0, sin(m)/c)

絶対値=√(c^2cos^2(m)+a^2sin^2(m) )/(ac)で割って単位法ベクトルを求めると

　(c cos(m)/√(c^2cos^2(m)+a^2sin^2(m)), 0,
　　　　a sin(m)/√(c^2cos^2(m)+a^2sin^2(m)) )

となります。y成分がないので単位法ベクトルはxz平面の含まれるということになります。

(iii)
>さらにxz平面との交わりは測地線である事を確かめてください。
測地線の定義とどんな条件式を満たせば測地線と言えますか？
これが分からないと確かめようがないですね。

これから遠出するので、この続きは遠出先からにします。
（WinXPも乗り換えないとだめですね。Win8.1のPCの初期設定、自宅ネット接続設定、セキュリティソフト、ブラウザ、メール設定etcこれからやらないと…）

補足

質問―楕円面とxz平面の交線上の点(a cos(m), 0, c sin(m)) (0≦m＜2π)における
法ベクトルは
(cos(m)/a, 0, sin(m)/c)
はいったいどういう計算式で求めたのでしょうか？途中計算と公式があるなら教えてください。

補足
測地線の定義について
テキストには以下のように書かれています。
「曲面の曲がり方を測る為に、曲面に含まれる曲線の曲率を考えます。Ｓ＝｛x(u,v)｝をＣ^r曲面として、Ｃ＝｛x(s)｝をＳに含まれるＣ^r曲線とします。x(s)=x(u(s),v(s))と表すこともできます。sはその弧長パラメーターです。すると、単位接ベクトルはe1(s)=x’(s)と表され、曲率ベクトルはk(s)=x''(s)と表されました。すなわち、曲率ベクトルは曲線C上を定速度1で動く点の加速度ベクトルです。定速度で曲面上を走る車を想像しましょう。ハンドルを切ると左右方向に加速度を受けます。道に凹凸があると上下方向に加速度を受けます。両方の合成が実際の加速度です。そこで、加速度ベクトルk(s)を曲面に接しているベクトルkg(s)と曲面に垂直なベクトルkn(s)の和に分解します。それぞれ、測地曲率ベクトルと法曲率ベクトルといいます。
k(s)=kg(s)+kn(s),kg(s)∈Tx(s)S,kn(s)⊥Tx(s)S
法曲率ベクトルの長さに、法ベクトルの方向により符号をつけたものを法曲率といいます。また測地曲率ベクトルの大きさを測地曲率といいます。
κn(s)=k(s)・n(u(s),v(s)),κg(s)=√(κ(s)^2-κn(s)^2)

Sに含まれる曲線で、測地曲率κgが恒等的に0であるものを、測地線といいます。」

以上宜しくお願いします。

回答No.1

info222_

回答以前に問題についての質問で～す。

・問1(i)の「第1基本変形」は「第一基本形式」と同じもののようですね。
テキストの解答に突然、出てくる「g」について問題文に説明がないけど、「g」は第一基本形式ではないですか？

第一基本形式であれば
参考URL
　ttp://www.tcp-ip.or.jp/~n01/math/analysis/vector_analysis/surface/surface.pdf
の1/4の３行目の「g=…」が定義式であり、特に楕円面の場合は
「3　楕円面」
　x(u,v)=(a cos(u)cos(v), b cos(u)sin(v), c sin(u) ) …(1)
　xyz座標で表せば　x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 …(2)
が今回の問題に該当し、
gの定義式に基づき計算すると
　∂x/∂u=(-a sin(u)cos(v), -b sin(u)sin(v), c cos(u) ) …(3)
　∂x/∂v=(-a cos(u)sin(v), b cos(u)cos(v), 0 ) …(4)
○・□を○と□の内積とすれば
　g=(∂x/∂u)・(∂x/∂u) (du)^2+2(∂x/∂u)・(∂x/∂v)dudv
　　+(∂x/∂v)・(∂x/∂v) (dv)^2 …(5)
　=(a^2 sin^2(u)cos^2(v) + b^2 sin^2(u)sin^2(v) + c^2 cos^2(u)) (du)^2
　　+ 2(a^2 sin(u)cos(u)sin(v)cos(v)+ b^2 sin(u)cos(u)sin(v)cos(v)) dudv
　　+ (a^2 cos^2(u)sin^2(v)+b^2 cos^2(u)cos^2(v) ) (dv)^2 …(6)

>以下の問ではxz平面との交わり(v=0,π)の各点において考えます。
この条件のとき
　sin(v)=0, cos(v)=±1 …(7)
(7)を(6)に代入すれば第一基本形式　g は
　g=(a^2 sin^2(u) + c^2 cos^2(u) ) (du)^2 + b^2 cos^2(u) (dv)^2 …(8)
となる。

テキストの解答の
>(i)g=(a^2・sin^2・u+c^2・cos^2・u)(du)^2+b^2・cos^2・u(dv)^2
と一致します。（「・」は内積の「・」と紛らわしいので使わないように取り除き三角関数の変数はカッコ ( ) で囲んで
　(i)g=(a^2 sin^2(u)+c^2 cos^2(u) ) (du)^2+b^2 cos^2(u) (dv)^2
と書いた方がいいですね！

(ii)以降は一寝してから。今夜は眠いのでこれで寝ます。

参考URL：

http://www.tcp-ip.or.jp/~n01/math/analysis/vector_analysis/surface/surface.pdf