いろんな行列の逆行列の考え方

質問

逆行列についてお尋ねします。
高校数学の範囲で穏当な行列の場合、逆行列は連立1次方程式の求解そのものであり、素直そのものですが、実際問題に当てはめるとそうはならない行列になると思います。その場合、その行列の性質を分類したりして個別の対応策が出てきます。一般化逆行列とか特異値分解とかですし、慣用表現としてフルランク、ランク落ちとかです。
フルランク、ランク落ちという用語はどの程度一般化しているのかわかりませんが、本に書いてあったりなかったりです。教科書による共通性がなくなる感じがしているので、
実際にどのように分類されるのでしょうか。説明の仕方がいろいろあって森の中で道にまぎれたような印象になります。同じことを別の用語で言っているのでしょうか。全体の地図のようなものがあるのでしょうか。地図が頭に入ると分類して引き出しにしまえるのですが、そういう感じがしないのですが。全般的な方向性の解説本とかサイトなどあったら教えて頂きたいのですが。
この辺の事情がすでに分かっている人は既にクリアなので私の質問の意味があまりわからないのではないかと思いますが、私は見通しが悪いなあと思っているのですが。決定論では収まらず統計処理まで出てくる場合があるのでますます見通しが悪くなってしまいます。目的依存なものだとしたら、解説が個別になっているくのも仕方がないのかもと思いますが。ぼんやりした包括的な質問になっていますがよろしくお願いします。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

大学の線形代数を学習しているのなら、行列の階数、つまりランクは分かるとは思いますが、m×n型の行列の階数（ランク）は、mとnの内の小さいほうを超えません。で、実際に階数がmとnの小さいほうになっている行列がフルランク、そうでなくて階数がmとnの小さいほうより更に小さくなっているものをランク落ちといっています。

特に正方行列の場合は、行列がフルランクというのは行列が正則、つまり逆行列を持つというのと同値であって、正方行列がランク落ちというのは逆行列を持たない、というのと同値です。

お礼

回答ありがとうございます。
ランクの定義について少し幅があるように感じていたのですが、これでスッキリした感じがします。