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数学です。
下記図面の赤線の所、ＣＤの直線距離の出し方を教えて下さい。 中心点ＯとＡの距離（ｒ） ＝ 3.0ｍ ＡＢの曲線距離（青線） ＝ 2.0ｍ ＯＣの距離 ＝ 2885ミリ 緑点線の部分は計算出来ます。 この条件のみで出せますか？
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No.5です。 お礼のところの補足 >図についてですが、色が判りにくいですね。 こんな風になるなんて思ってもみなかったです。 大失敗です。 緑の点線はＡＢ間の曲線（青線）と ＡＢ間の直線の間にある短い縦点線です。 ここを使うと簡単に出るのかな？と思って 書いてみましたが、必要無かった様ですね。 そうですね。緑点線の縦線の長さhは使わなくてもCDの計算できます。 添付図では線が細く、緑の点線の色がよく見えませんでしたが短い縦点線でしたか？ この縦線の長さhはR=(半径OA)とL=(弧AB)により決まります。 h=R-Rcos(L/(2R)) …（※） これは L/(2R)<<1のときcos(L/(2R))をテーラー展開して第２項までとって近似すれば h≒(L^2)/(8R) となります。 （なお、２乗は a^2 のように書きます。エクセルや関数電卓などでも 「aのb乗」の指数表現「a^b」 として扱います。） >因みに Ｌ2乗÷8Ｒ＝ｈ で計算しています。 このhの式は近似式ですから誤差がでます。 だから、hを使って辺CDを表したければ L/(2R)<<1の近似条件が外れるほど近似式ではなく、（※）の式を使った方がいいでしょう。 >例えば、Ｒ＝5.90 Ｌ＝1.89 といった感じです。 >その時にＡＣは115ミリですので このときの場合には h=R-Rcos(L/(2R))=0.0755m=75.5mm h≒(L^2)/(8R)=0.07568m=75.7mm 程度の近似誤差になります。 hを使って辺CDの距離（長さ）を表す計算式は 辺CD=辺AB×OC/OA =2Rsin(L/(2R))×(R-115)/R =2(R-115)√(1-(h/R)^2) となります（正確な計算ｊ式です）。
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- shuu_01
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外円の半径 ＝ OA の距離を R 内円の半径 ＝ OC の距離を S 外円の円弧の長さ＝AB の曲線距離を L 円弧 AB の中点と 直線 AB の中点の距離を h h の近似値 h’ ＝ L^2 ÷ 8R h' を用いて計算した CD の近似値を CD' とします 【１】 R、S、L から三角関数を用いた計算 ∠AOB ＝ 2π・L / 2πR ＝ L/R ∠AOM ＝ L/2R CD ＝ 2 S sin ∠AOM ＝ 2 S sin（L/2R） h ＝ R － R cos ∠AOM ＝ R － R cos（L/2R） 【２】 h の近似値 h’ ＝ L^2 ÷ 8R を用いた計算 円弧 AB の中点を M、直線 AB の中点を N とすると h ＝ MN NO ＝ R ー h AN^2 ＋ NO^2 ＝ AO^2 AN^2 ＋ （Rーh）^2 ＝ R^2 AN ＝ √｛R^2ー（R － h）｝^2 AB ＝ 2 AN ＝ 2 √｛R^2ー（R － h）｝^2 △ABO と △ CDO は１辺の長さの比 R：Ｓ で相似ですので CD ＝ 2 （S/R） √｛R^2ー（R － h）｝^2 となります h の近似値 h’ ＝ L^2 ÷ 8R はいろいろ計算してみると、 R ＝ 1.5、L ＝ 4、S ＝ 1.385 の時 h ＝ 1.14714364 CD ＝ 2.692267987 H' ＝ 1.333333333、 CD' ＝ 2.752848132 誤差が大きめになりましたが、それ以外は有効数字 ２桁で ほぼ近い数字になりました
お礼
ここまで何とか理解出来ました。 パンクしそうです。 ＞ではお風呂ですか？ かまくらかなぁ？ これと同じ物は交差点内にありますよ。 ＞数学の試験問題なのか、現実に計算式が必要となったのか不明ですが、 現実に必要の方です。 今回の質問の辺ＣＤを出せる事で、仕事が格段に向上します。 ＞いったいどうやったら、そんな計算式を導き出せるのですか？ ＞どのように計算した近似式なのですか？！ この式は R ＝ L^2 ÷ 8h つまりRを計算する式から hの求め方に変えただけで・・ 因みにR ＝ L^2 ÷ 8hの計算式は 誰にでも簡単に出来る計算式をという事で 考えてもらったもので、僕が計算したものではありません。 これが出来たら今回の質問はしなくて済みますので・・笑 最後までお付き合い下さいまして、ありがとうございます。
- shuu_01
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数学の試験問題なのか、現実に計算式が必要となったのか不明ですが、 外円の半径 ＝ OA の距離を R 内円の半径 ＝ OC の距離を S 外円の円弧の長さ＝AB の曲線距離を L とします ∠AOB ＝ 2π・L / 2πR ＝ L/R ∠AOM ＝ L/2R CD ＝ 2 S sin ∠AOM ＝ 2 S sin（L/2R） AC ＝ R － S 円弧 AB の中点と 直線 AB の中点の距離を h とすると h ＝ R － R cos ∠AOM ＝ R － R cos（L/2R） となります 問題文の R ＝ 3.0m、L ＝ 2.0m、S ＝ 2.885m の場合、 ∠AOB ＝ 2/3 CD ＝ 2・2.885 sin（1/3）≒ 1.887913401 m と前回と同じ計算になり、 h ＝ 3 ー 3 cos（1/3）≒ 0.165129161 m です それでは、h ＝ L^2 ÷ 8R で計算するとどうなる かというと、 h ＝ 2^2 ÷ （8×3）＝ 0.166666667 と非常に近い数字になりました どのように計算した近似式なのですか？！
- shuu_01
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AB 間の曲線部の長さ ＝ 外円の円弧の長さ（L）1～4m で 数cm 単位で変わる （問題文では 2.0m） OC の距離 ＝ 内円の半径（問題文では 288mm ＝ 2.88m） という所まで理解できました ただ、まだ、理解できない部分があります 内円の半径は 2.88m で固定ですか？ 変わりますか？ ＞ その時にＡＣは115ミリですので今回の質問内容となりました。 問題文の外円の半径 3.0m、内円の半径 2.88m の場合、 AC は 0.12m ＝ 120mm です 115mm ではありません R ＝ 5.90 だとしても、内円の半径 2.88m なら AC は 5.90－2.88 ＝ 3.02m ＝ 3020mm です 115mm ではありません 115mm はどこから出て来たのですか？ 角AOB は 2π・L / 2πR ＝ L/R で得られ、 角AOM は その半分ですので、L/2R です 短い緑の縦点線の長さは R － R cos（L/2R）です ＞ 短い緑の縦点線（仮にｈ）を使って計算する方法もありますか？ ＞ 因みに Ｌ2乗÷8Ｒ＝ｈ で計算しています。 L2/8R ではありません いったいどうやったら、そんな計算式を導き出せるのですか？ ＞ 今回の質問は土俵や花壇等ではありませんよ。 ではお風呂ですか？ かまくらかなぁ？ もし、数学の問題でしたら、問題文 全部を教えてください
- shuu_01
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土俵は一辺が6.7メートルの正方形に土を盛り、その中央に直径4.55メートル（15尺）の円が勝負俵（計16俵）で作られているそうですので、それと比べると小さい円ですね 花壇なのでしょうか？ ジャグジーとかかな？ その入り口の外側のサイズは計測したけど、内側のサイズは計算で求めたいみたいなでしょうか？
お礼
大変詳しく回答して頂きまして、ありがとうございます。 No.5の方のお礼にも書きましたが、図が判り難かったですね。 ごめんなさい。 今回の質問は土俵や花壇等ではありませんよ。 ＡＢ間の曲線部の長さ（Ｌ）は１ｍ～４ｍ程度まで数センチ単位で変わりますし 外円の半径（Ｒ）も1.5Ｒ～25.0Ｒ程度まで変わります。 その場合に辺ＣＤにあたる長さを確認したいんですね。 例えば、Ｒ＝5.90 Ｌ＝1.89 といった感じです。 その時にＡＣは115ミリですので今回の質問内容となりました。 今回皆さんにして頂いた回答から計算する事は出来ますが 短い緑の縦点線（仮にｈ）を使って計算する方法もありますか？ 因みに Ｌ2乗÷8Ｒ＝ｈ で計算しています。
- info222_
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>この条件のみで出せますか？ 出せます。 △OCD∽△OABなので CD:AB=OC:OA OC=2885mm, OA=3000mmなので CD=AB(OC/OA)=AB×(2885/3000) ....(※) >緑点線の部分は計算出来ます。 辺ABのことですね。 辺ABの計算ができるのなら (※)の式に辺ABの距離を代入すれば辺CD（赤線）の距離が計算できるでしょう。 （参考） 辺AB,辺CDの計算式は 辺AB=2×OA×sin(1/3)=2×3000×sin(1/3)=6000sin(1/3)=1963 mm 辺CD=2×OC×sin(1/3)=2×2885×sin(1/3)=5770sin(1/3)=1888 mm (mm以下の小数以下端数は四捨五入してあります。)
お礼
回答有難うございます。 ＣＤの距離、出せる様になりました。 図についてですが、色が判りにくいですね。 こんな風になるなんて思ってもみなかったです。 大失敗です。 緑の点線はＡＢ間の曲線（青線）と ＡＢ間の直線の間にある短い縦点線です。 ここを使うと簡単に出るのかな？と思って 書いてみましたが、必要無かった様ですね。
- shuu_01
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No.2 です ちょっと計算をはしょった所があり、 もっと詳しく説明すると： 【１】 中心角の求め方 角AOB ＝ 2π×（弧AB の長さ / 大きな円の円周の長さ） ＝ 2π×2000 / （2π・3000） ＝ 2/3 です。π の方が計算 楽なので、角度を π で表しましたが、 度（°） で表すと 角AOB ＝ 360°×（弧AB の長さ / 大きな円の円周の長さ） ＝ 360°×2000 / （2π・3000） ＝ 38.19718634° となります 【２】 扇形の円弧の両端を結ぶ直線の求め方 △ABO は２辺が 半径 r の二等辺三角形です AB の中点を M、CD の中点を N とおくと、 △AMO は直角三角形となり、 角AOM は 角 AOB ＝ 2/3 の半分ですので 1/3 AM ＝ AO sin 角AOB AB はその２倍ですので、 AB ＝ 2 AO sin 1/3 で得られます。CD の直線距離も同様に CD ＝ 2 CO sin 1/3 です
- shuu_01
- ベストアンサー率55% (759/1365)
No.2 です ちょっと計算をはしょった所があり、 もっと詳しく説明すると： 【１】 中心角の求め方 角AOB ＝ 2π×（弧AB の長さ / 大きな円の円周の長さ） ＝ 2π×2000 / （2π・3000） ＝ 2/3 です。π の方が計算 楽なので、角度を π で表しましたが、 度（°） で表すと 角AOB ＝ 360°×（弧AB の長さ / 大きな円の円周の長さ） ＝ 360°×2000 / （2π・3000） ＝ 38.19718634° となります 【２】 扇形の円弧の両端を結ぶ直線の求め方 △ABO は２辺が 半径 r の二等辺三角形です AB の中点を M、CD の中点を N とおくと、 △AMO は直角三角形となり、 角AOM は 角 AOB ＝ 2/3 の半分ですので 1/3 AM ＝ AO sin 角AOB AB はその２倍ですので、 AB ＝ 2 AO sin 1/3 で得られます。CD の直線距離も同様に CD ＝ 2 CO sin 1/3 です
- shuu_01
- ベストアンサー率55% (759/1365)
No.2 です ＞ 緑点線の部分は計算出来ます。 ＞ この条件のみで出せますか？ No.2 の方法で、 緑点線の部分 ＝ AB の直線距離を求めると AB の直線距離 ＝ 2（3000mm × sin （1/3）） ≒ 2 × 3000 × 0.327194697mm ＝ 1963.168181mm ≒ 1.96m です。質問者さんの計算と合っていますか？ AB の長さから CD の直線距離を求めてみると、 △ABO と △CDO は１辺の比が 3000：2885 の相似です したがって、 CD の直線距離 ＝ AB の直線距離×（2885.3000） ≒ 1963.168181mm×（2885.3000） ＝ 1887.913401mm ≒ 1.89m と No.2 と同じ結果になります
- bgm38489
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相似。 ＡＢ：ＯＡ＝ＡＢ：ＣＤ
お礼
回答ありがとうございます。
お礼
info222_さんの回答を見ていると 僕が学生時代に、数学を根気良く教えてくれた 先生を思い出します。 話し方が似ていると言うか・・ その先生のおかげで全く興味の無かった 数学に興味を持ちました。 良い先生だったな～ 回答ありがとうございます。