数学です。

質問

下記図面の赤線の所、ＣＤの直線距離の出し方を教えて下さい。

中心点ＯとＡの距離（ｒ） ＝　3.0ｍ
ＡＢの曲線距離（青線） ＝　2.0ｍ
ＯＣの距離 ＝　2885ミリ

緑点線の部分は計算出来ます。
この条件のみで出せますか？

回答No.8

info222_ · ベストアンサー

No.5です。

お礼のところの補足

>図についてですが、色が判りにくいですね。
こんな風になるなんて思ってもみなかったです。
大失敗です。
緑の点線はＡＢ間の曲線（青線）と
ＡＢ間の直線の間にある短い縦点線です。
ここを使うと簡単に出るのかな？と思って
書いてみましたが、必要無かった様ですね。

そうですね。緑点線の縦線の長さhは使わなくてもCDの計算できます。
添付図では線が細く、緑の点線の色がよく見えませんでしたが短い縦点線でしたか？
この縦線の長さhはR=(半径OA)とL=(弧AB)により決まります。
　h=R-Rcos(L/(2R))　…（※）
これは L/(2R)<<1のときcos(L/(2R))をテーラー展開して第２項までとって近似すれば
　h≒(L^2)/(8R)
となります。
（なお、２乗は a^2 のように書きます。エクセルや関数電卓などでも 「aのb乗」の指数表現「a^b」 として扱います。）

>因みに　Ｌ2乗÷8Ｒ＝ｈ　で計算しています。

このhの式は近似式ですから誤差がでます。
だから、hを使って辺CDを表したければ
L/(2R)<<1の近似条件が外れるほど近似式ではなく、（※）の式を使った方がいいでしょう。

>例えば、Ｒ＝5.90　Ｌ＝1.89　といった感じです。
>その時にＡＣは115ミリですので
このときの場合には
　h=R-Rcos(L/(2R))=0.0755m=75.5mm
　h≒(L^2)/(8R)=0.07568m=75.7mm
程度の近似誤差になります。

hを使って辺CDの距離（長さ）を表す計算式は

　辺CD=辺AB×OC/OA
　=2Rsin(L/(2R))×(R-115)/R
　=2(R-115)√(1-(h/R)^2)

となります（正確な計算ｊ式です）。

お礼

info222_さんの回答を見ていると
僕が学生時代に、数学を根気良く教えてくれた
先生を思い出します。
話し方が似ていると言うか・・
その先生のおかげで全く興味の無かった
数学に興味を持ちました。
良い先生だったな～

回答ありがとうございます。

回答No.10

shuu_01

外円の半径 ＝ OA の距離を R
内円の半径 ＝ OC の距離を S
外円の円弧の長さ＝AB の曲線距離を L
円弧 AB の中点と 直線 AB の中点の距離を h

h の近似値　h’ ＝ L^2 ÷ 8R
h' を用いて計算した CD の近似値を CD'
とします

【１】　R、S、L から三角関数を用いた計算
　　∠AOB ＝ 2π・L / 2πR　　＝ L/R
　　∠AOM ＝ L/2R
　　CD ＝ 2 S sin ∠AOM ＝ 2 S sin（L/2R）
　　h ＝ R － R cos ∠AOM　＝ R － R cos（L/2R）

【２】 h の近似値　h’ ＝ L^2 ÷ 8R　を用いた計算
　　円弧　AB の中点を M、直線 AB の中点を N とすると
　　h ＝ MN
　　NO ＝ R ー h
　　AN^2 ＋ NO^2 ＝ AO^2
　　AN^2 ＋ （Rーh）^2 ＝ R^2
　　AN ＝ √｛R^2ー（R － h）｝^2
　　AB ＝ 2 AN ＝ 2 √｛R^2ー（R － h）｝^2
　　△ABO と △ CDO は１辺の長さの比 R：Ｓ　で相似ですので
　　CD ＝　2 （S/R） √｛R^2ー（R － h）｝^2

となります

h の近似値　h’ ＝ L^2 ÷ 8R　はいろいろ計算してみると、

R ＝ 1.5、L ＝ 4、S ＝ 1.385 の時
h ＝ 1.14714364　　CD ＝ 2.692267987
H' ＝ 1.333333333、　CD' ＝ 2.752848132

誤差が大きめになりましたが、それ以外は有効数字 ２桁で
ほぼ近い数字になりました

お礼

ここまで何とか理解出来ました。
パンクしそうです。

＞ではお風呂ですか？　かまくらかなぁ？
これと同じ物は交差点内にありますよ。

＞数学の試験問題なのか、現実に計算式が必要となったのか不明ですが、
現実に必要の方です。
今回の質問の辺ＣＤを出せる事で、仕事が格段に向上します。

＞いったいどうやったら、そんな計算式を導き出せるのですか？
＞どのように計算した近似式なのですか？！
この式は　R ＝ L^2 ÷ 8h　つまりRを計算する式から
hの求め方に変えただけで・・
因みにR ＝ L^2 ÷ 8hの計算式は
誰にでも簡単に出来る計算式をという事で
考えてもらったもので、僕が計算したものではありません。
これが出来たら今回の質問はしなくて済みますので・・笑

最後までお付き合い下さいまして、ありがとうございます。

回答No.9

shuu_01

数学の試験問題なのか、現実に計算式が必要となったのか不明ですが、

外円の半径 ＝ OA の距離を R
内円の半径 ＝ OC の距離を S
外円の円弧の長さ＝AB の曲線距離を L

とします

∠AOB ＝ 2π・L / 2πR
　　　＝ L/R

∠AOM ＝ L/2R

CD ＝ 2 S sin ∠AOM
　 ＝ 2 S sin（L/2R）

AC ＝ R － S

円弧 AB の中点と 直線 AB の中点の距離を h とすると

h ＝ R － R cos ∠AOM
　＝ R － R cos（L/2R）

となります

問題文の　R ＝ 3.0m、L ＝ 2.0m、S ＝ 2.885m

の場合、

∠AOB ＝ 2/3

CD ＝ 2・2.885 sin（1/3）≒ 1.887913401 m

と前回と同じ計算になり、

h ＝ 3 ー 3 cos（1/3）≒ 0.165129161 m です

それでは、h ＝ L^2 ÷ 8R で計算するとどうなる
かというと、

h ＝ 2^2 ÷ （8×3）＝ 0.166666667

と非常に近い数字になりました

どのように計算した近似式なのですか？！

回答No.7

shuu_01

AB 間の曲線部の長さ ＝ 外円の円弧の長さ（L）1～4m で 数cm 単位で変わる
（問題文では　2.0m）

OC の距離 ＝ 内円の半径（問題文では 288mm ＝ 2.88m）

という所まで理解できました

ただ、まだ、理解できない部分があります

内円の半径は 2.88m で固定ですか？　変わりますか？

＞　その時にＡＣは115ミリですので今回の質問内容となりました。

問題文の外円の半径 3.0m、内円の半径 2.88m の場合、
AC は 0.12m ＝ 120mm です

115mm ではありません

R ＝ 5.90 だとしても、内円の半径 2.88m なら
AC は 5.90－2.88 ＝ 3.02m ＝ 3020mm です

115mm ではありません

115mm はどこから出て来たのですか？

角AOB は 2π・L / 2πR　＝ L/R　で得られ、

角AOM は その半分ですので、L/2R です

短い緑の縦点線の長さは

R － R cos（L/2R）です

＞　短い緑の縦点線（仮にｈ）を使って計算する方法もありますか？
＞　因みに　Ｌ2乗÷8Ｒ＝ｈ　で計算しています。

L2/8R ではありません

いったいどうやったら、そんな計算式を導き出せるのですか？

＞　今回の質問は土俵や花壇等ではありませんよ。

ではお風呂ですか？　かまくらかなぁ？

もし、数学の問題でしたら、問題文 全部を教えてください

回答No.6

shuu_01

土俵は一辺が6.7メートルの正方形に土を盛り、その中央に直径4.55メートル（15尺）の円が勝負俵（計16俵）で作られているそうですので、それと比べると小さい円ですね

花壇なのでしょうか？　ジャグジーとかかな？

その入り口の外側のサイズは計測したけど、内側のサイズは計算で求めたいみたいなでしょうか？

お礼

大変詳しく回答して頂きまして、ありがとうございます。

No.5の方のお礼にも書きましたが、図が判り難かったですね。
ごめんなさい。

今回の質問は土俵や花壇等ではありませんよ。
ＡＢ間の曲線部の長さ（Ｌ）は１ｍ～４ｍ程度まで数センチ単位で変わりますし
外円の半径（Ｒ）も1.5Ｒ～25.0Ｒ程度まで変わります。
その場合に辺ＣＤにあたる長さを確認したいんですね。
例えば、Ｒ＝5.90　Ｌ＝1.89　といった感じです。
その時にＡＣは115ミリですので今回の質問内容となりました。

今回皆さんにして頂いた回答から計算する事は出来ますが
短い緑の縦点線（仮にｈ）を使って計算する方法もありますか？
因みに　Ｌ2乗÷8Ｒ＝ｈ　で計算しています。

回答No.5

info222_

>この条件のみで出せますか？
出せます。

△OCD∽△OABなので　CD:AB=OC:OA

OC=2885mm, OA=3000mmなので

CD=AB(OC/OA)=AB×(2885/3000)　....(※)

>緑点線の部分は計算出来ます。
辺ABのことですね。

辺ABの計算ができるのなら

(※)の式に辺ABの距離を代入すれば辺CD（赤線）の距離が計算できるでしょう。

（参考）
辺AB,辺CDの計算式は
辺AB=2×OA×sin(1/3)=2×3000×sin(1/3)=6000sin(1/3)=1963 mm
辺CD=2×OC×sin(1/3)=2×2885×sin(1/3)=5770sin(1/3)=1888 mm
(mm以下の小数以下端数は四捨五入してあります。)

お礼

回答有難うございます。
ＣＤの距離、出せる様になりました。

図についてですが、色が判りにくいですね。
こんな風になるなんて思ってもみなかったです。
大失敗です。
緑の点線はＡＢ間の曲線（青線）と
ＡＢ間の直線の間にある短い縦点線です。
ここを使うと簡単に出るのかな？と思って
書いてみましたが、必要無かった様ですね。

回答No.4

shuu_01

No.2 です

ちょっと計算をはしょった所があり、
もっと詳しく説明すると：

【１】　中心角の求め方

角AOB ＝ 2π×（弧AB の長さ / 大きな円の円周の長さ）
　　　　　＝ 2π×2000 / （2π・3000） ＝ 2/3

です。π の方が計算 楽なので、角度を π で表しましたが、
度（°）　で表すと

角AOB ＝ 360°×（弧AB の長さ / 大きな円の円周の長さ）
　　　　　＝ 360°×2000 / （2π・3000）
　　　　　＝ 38.19718634°

となります

【２】　扇形の円弧の両端を結ぶ直線の求め方

△ABO は２辺が　半径 r　の二等辺三角形です

AB の中点を M、CD の中点を N とおくと、

△AMO は直角三角形となり、

角AOM は 角 AOB ＝ 2/3 の半分ですので 1/3

AM ＝ AO sin 角AOB

AB はその２倍ですので、

AB ＝ 2 AO sin 1/3

で得られます。CD の直線距離も同様に

CD ＝ 2 CO sin 1/3 です

回答No.4

shuu_01

No.2 です

ちょっと計算をはしょった所があり、
もっと詳しく説明すると：

【１】　中心角の求め方

角AOB ＝ 2π×（弧AB の長さ / 大きな円の円周の長さ）
　　　　　＝ 2π×2000 / （2π・3000） ＝ 2/3

です。π の方が計算 楽なので、角度を π で表しましたが、
度（°）　で表すと

角AOB ＝ 360°×（弧AB の長さ / 大きな円の円周の長さ）
　　　　　＝ 360°×2000 / （2π・3000）
　　　　　＝ 38.19718634°

となります

【２】　扇形の円弧の両端を結ぶ直線の求め方

△ABO は２辺が　半径 r　の二等辺三角形です

AB の中点を M、CD の中点を N とおくと、

△AMO は直角三角形となり、

角AOM は 角 AOB ＝ 2/3 の半分ですので 1/3

AM ＝ AO sin 角AOB

AB はその２倍ですので、

AB ＝ 2 AO sin 1/3

で得られます。CD の直線距離も同様に

CD ＝ 2 CO sin 1/3 です

回答No.3

shuu_01

No.2 です

＞　緑点線の部分は計算出来ます。
＞　この条件のみで出せますか？

No.2 の方法で、

緑点線の部分 ＝ AB の直線距離を求めると

AB の直線距離 ＝ 2（3000mm × sin （1/3））
　　　　　　　≒ 2 × 3000 × 0.327194697mm
　　　　　　　＝　1963.168181mm
　　　　　　　≒　1.96m

です。質問者さんの計算と合っていますか？

AB の長さから CD の直線距離を求めてみると、
△ABO と △CDO は１辺の比が 3000：2885
の相似です

したがって、

CD の直線距離 ＝ AB の直線距離×（2885.3000）
　　　　　　　≒ 1963.168181mm×（2885.3000）
　　　　　　　＝　1887.913401mm
　　　　　　　≒　1.89m

と No.2 と同じ結果になります

回答No.2

shuu_01

大きな円の半径は　3.0m ＝ 3000mm
小さな円の半径は　2885mm
AB の曲線距離（弧の長さ）は 2000mm

弧の角度は　2π×2000 / （2π・3000） ＝ 2/3

CD の距離 ＝ 2（2885mm × sin （1/3））
　　　　　　　≒ 2 × 2885 × 0.327194697mm
　　　　　　　＝　1887.913401mm
　　　　　　　≒　1.89m

＊ ただし、実際にその縮尺で図を描き直すと
　　内側の円は外側の円のすぐ内側にあり、
　　問題文の図とえらく違います

回答No.1

bgm38489

相似。
ＡＢ：ＯＡ＝ＡＢ：ＣＤ

お礼

回答ありがとうございます。