回転する剛体に関して。

質問

剛体に力を加えて回転したとき、固定された回転軸がない場合、この回転の回転軸は加えた力のベクトルと重心が成す面に垂直で重心を通る、
というのは感覚的にそうなる気はするのですが、慣性モーメントなどから数式的に導くことは可能でしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.7

中村 拓男（@tknakamuri）

＞なぜトルクの回転軸は常に重心を通るのでしょうか？

剛体の回転中心を重心と決めたから回転軸は
重心を通るのです。
もちろん、そうでないように回転を定義することも可能ですし、
それはそれで普通に行われています。
＃たとえば剛体の原点に対する回転量(角運動量)を考えることも可能です。

重心を回転中心にすると、それに対する剛体の各部分の遠心力の総和が０になるので、
回転が重心の運動に影響を与えず、結果として運動方程式を重心のものと、
回転のものにきれいに分けることができるので便利です。

お礼

何度も回答ありがとうございます。

剛体を見るとき、回転に関しては剛体の重心中心の回転系で見て、剛体の運動を理解しやすいようにしていたということですね。また、

＞剛体の回転中心を重心と決めたから回転軸は
重心を通るのです。
もちろん、そうでないように回転を定義することも可能ですし、
それはそれで普通に行われています。

とのことですが、ボールを投げた時、その投げた場所を原点して見た場合は、ボールは動経方向に飛んでいくだけでも、剛体の慣性モーメントが大きくなって、徐々に角運動量は大きくなるという理解で大丈夫でしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

力が重心に対する力とトルクに分解される図を書いてみました。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

>宇宙空間で剛体に力を加えるとき、剛体のどの場所に力を加えても、
>その加えた力のベクトルと同じ向きに剛体は飛んでいき、
>重心を通らなければ回転もするということでよろしいでしょうか？

そうです。

>また、同じ大きさの力を加える場合、重心を通る場合と通らない場合で、
>剛体の飛んでいく速度は変わるのでしょうか？
>エネルギー保存を考えれば、回転運動エネルギーが生じる分、
>重心を通らない場合のほうが速度が遅くなる気がするのですが、
>どうでしょうか？

必要なエネルギーは力によって供給されます。

同じ力で押したからと言って剛体に加わるエネルギーが
同じわけではありません。作用点の移動量が違えば
同じ力によって物体に加わるエネルギーは全く異なります。

お礼

＞作用点の移動量が違えば
同じ力によって物体に加わるエネルギーは全く異なります。

この説明でとてもすっきりすることができました。また、丁寧に図を書いていただき、ありがとうございます。

何度も質問してしまい申し訳ないですが、なぜトルクの回転軸は常に重心を通るのでしょうか？
ボールを投げたとき、どのように投げても重心を中心に回る理由のようなものを教えていただければと思います。

よろしくお願いします。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

〉L と I の向きは一致しません。

訂正

L と ω の向きは一致しません。

ですね。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

>（ａ）作用点Ｓから剛体の重心Ｇに向かう成分ＦＧと、
>（ｂ）ＦＧと直交する成分ＦＬ
>に分けて、
>（ａ）ＦＧが剛体全体を移動させる運動（重心を直線的に動かす運動）
>（ｂ）重心Ｇと作用点Ｓとの距離ＧＳとＦＬの積が剛体を回転させる運動
>に使われます。

(a)が間違ってます。Fがそのまま剛体全体を移動させる運動に使われます。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%89%9B%E4%BD%93%E3%81%AE%E5%8A%9B%E5%AD%A6

ちなみに

L=Iω(L: 角運動量　ベクトル、ω:角速度ベクトル=回転ベクトル)　

で

dL/dt = N(トルク)

ですが, I(慣性モーメント)は２階のテンソルなので、L と I の向きは一致しません。
しかも I は回転と共に変化するので、大変ややこしくなります(^^;

詳しくは剛体の力学やオイラーの運動方程式などで検索してみてください。

お礼

回答ありがとうございます。

＞Fがそのまま剛体全体を移動させる運動に使われます。

ということは、例えば宇宙空間で剛体に力を加えるとき、剛体のどの場所に力を加えても、その加えた力のベクトルと同じ向きに剛体は飛んでいき、重心を通らなければ回転もするということでよろしいでしょうか？

また、同じ大きさの力を加える場合、重心を通る場合と通らない場合で、剛体の飛んでいく速度は変わるのでしょうか？
エネルギー保存を考えれば、回転運動エネルギーが生じる分、重心を通らない場合のほうが速度が遅くなる気がするのですが、どうでしょうか？

回答No.2

Tann3

図がないと説明しにくいですが、剛体に力が作用する点（作用点）において、「加えた力Ｆ→（ベクトル）」を、

（ａ）作用点Ｓから剛体の重心Ｇに向かう成分ＦＧと、

（ｂ）ＦＧと直交する成分ＦＬ

に分けて、

（ａ）ＦＧが剛体全体を移動させる運動（重心を直線的に動かす運動）

（ｂ）重心Ｇと作用点Ｓとの距離ＧＳとＦＬの積が剛体を回転させる運動

に使われます。

　従って、きちんと数式的に求めることが可能です。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

〉回転軸は加えた力のベクトルと重心が成す面に垂直で重心を通る、

とはならないですね。取っての付いた棒のようなものに力を加えた場合
を考えてみて下さい。