バネ（フックの法則）について

質問

バネの伸びはなぜ重さに比例(y=ax)するのでしょうか？
y=ax^2とかy=a√xあるいは極端にf=sin(x)
などにはならないのでしょうか？
あるいは学校ではy=axとなるバネだけを教えているのでしょうか？
弾性がなぜ比例するのか「原子」レベル、根源的な説明を教えてください。
いろいろネット調べましたがみつかりませんでした。

回答No.4

noname#221368

皆さんの回答に尽きますが、

＞「もしある物理現象が曲線の式で表現できたら、各点では局所的に直線に近似されるので、その点の近辺は比例現象である。数多くの物理現象は局所的には比例を呈示」

はその通りです。

　量子論などを除いた古典物理の中では、ほとんどの物理現象の曲線（関数）は、連続であるだけでなく、微分可能である必要があります（高校レベルの微分可能でOKです）。

　微分可能であれば連続なのはご存じと思いますが、そうでないと物理的に色々な不都合が生じるのがわかっています。そして微分可能なら、微小な入力（微小なバネの伸び縮み）に対して出力（バネの力）は、入力に比例します。これがいちおう原理的（根源的？）な理由になると思います。

　したがってあなたの思った事は、現実に即して表現した微分可能の定義そのもので、高校レベルの微分可能の定義とじつは同値です。

　ちなみに#2さんの「指導要領」の話は、それはそれで真実で、その理由は#3さんの仰る通りだと思います。きっとどこかに「原子レベルから出発した、弾性の計算式」はあるんでしょうけど・・・(^^；)。

お礼

ご回答ありがとうございます。
お礼が遅れて申し訳ありません。

＞連続であるだけでなく、微分可能
数学的微分⊿y／⊿x（⊿x→0）ですが、寿命が1000億年で銀河系ぐらいの大きさの宇宙人がみたらどう感じるか。数学好きの自分としては結構楽しい昔からの命題です。無限小など思いのほかなので数学が発達しないのかも。
　フックの法則は伸びが微小の範囲で成り立つ。誤差の話だとすれば巨大宇宙人から見れば、連続性が成り立つ範囲（弾性限界内）なら地球尺度の大きさにおけるフックの法則も振り子の等時性も99.99%正しい。つまり巨大宇宙人が地球という星の世界ではフックの法則は例外なく正しい、と思うかどうか。
本題からずれましたが微分可能／連続性という言葉から考えました。いろいろありがとうございました。

回答No.3

hitokotonusi

バネのようなものは要は復元力があるということですが、常にある一点に向かう力があるということは、エネルギー的にはその点が極小になっているということです。極小であることからその点の一次の微係数がゼロとなるので、ポテンシャルは定数項の次が二次になり、

U =a - bx^2 +・・・

したがって力は

F = - 2bx +・・・

となるので、微小振動はかならずフックの法則に従うことになります。

したがって、フックの法則に従うバネはあらゆる振動現象の基礎となるため、教えているということですね。

お礼

ご回答ありがとうござます。
能力不足で理解に苦しんでいるところですがポテンシャルをネットで調べると
「重力場の中にある粒子がもつ位置エネルギーを、位置の関数で表したスカラー量」というのがありました。この位置の関数を多項式近似して次式とします。
　　f(x)=・・・+ax^3+bx^2+cx+d

＞エネルギー的にはその点が極小になっている
この「その点」というのは振動の中心ということでf(x)上のx=0のことですね。従ってf'(x)のx=0前後の微小の範囲でf'(0)=0が成り立つためにはc=0ということですね。もしc≠0ならf'(0)≠0とできるx=0の微小範囲がとれf'(0)=0に反するので。

＞したがって力は　F = - 2bx +・・・
ＵからＦへの導出についてはこれから勉強します。

ご指摘のおかげで今まで何気なかったフックの法則が、その重みというか、潜んでいる快刀のようなものを見ることができて喜んでいます。ありがとうございました。

回答No.2

lv4u

>>あるいは学校ではy=axとなるバネだけを教えているのでしょうか？

学校でバネについて教えるのは、理科か物理という科目でしょう。
そして、これらの科目は、「なぜ、そうなるか？」というより根源的な疑問には、答えません。それは、教える内容が「教育指導要領」で決まっているからです。
その範囲からはみ出ることは、教える必要がありません。

>>y=ax^2とかy=a√xあるいは極端にf=sin(x)
などにはならないのでしょうか？

y=axになるように作ったバネで実験しているからでしょう。

また、そういう単純な関係式にならないバネが欲しい方もいると思います。たとえば、電動エアガンで使うスプリングは、均一巻きにはなっていません。
これは、モータのパワーをうまくスプリングの圧縮に使えるように工夫した結果だと思います。たぶん、普通のスプリングだと、モータが回らなくなったり、ギヤが破損するからかもしれません。

>>弾性がなぜ比例するのか「原子」レベル、根源的な説明を教えてください。

そういう説明は、見たことがりませんね。

ところで、物理は、基本的スタンスとして、「現在分かっていることの、もう一段下の部分はどうなっているのだろう？」として研究するのが普通です。
考古学で、「もう一段下の地層はどうなっているか？」と掘り下げていくようなものです。

でも、EPRパラドックスとベルの不等式により、相対論と量子力学が根本的に両立しないことが分かり、「お互い、自分たちの地位を守るため、この件は触れないことにしよう」という密約でもあったような状況にある、なんて感じのことが「物理の果て－統一理論という神話－」には書かれていたりします。

Ｐ．Ｓ．
「根源的な説明」とは「第一原因を問う」となり、たぶん、神がこの世を創造したところまで踏み込むことになるかもしれませんね。
地球の科学は、遠い星からワープ航法でやってくるＵＦＯに乗った宇宙人と比べれば、数百年から数千年も遅れています。
いわば、どこかの土人の村を訪れる先進国の人々です。そういう宇宙人にとって、地球の文化に興味をひくものはあっても、科学的に教えを請うものは無いはずです。
彼らが言うには、「宇宙の創造神が、今、地球の日本に生まれて幸福の科学にいる。その教祖から、宇宙創造の秘密を聞き出すために（自白させるために？）地球に来ているのだ。」なんて話がありました。

お礼

ご回答ありがとうございます。
急用ができ、お礼が遅れて申し訳ありません。

＞電動エアガンで使うスプリングは、均一巻きにはなっていません。
比例的にモータに負荷をかけるのではなく慣らしてからぐっと負荷をかける、身の回りにも安全性とかでいっぱい反「比例」事例がありそうですね。いい事例ありがとうございます。エアガンをもう少し調べて、他への説明に使わせていただきます。

＞現在分かっていることの、もう一段下の部分はどうなっているのだろう？
すみません「根源的説明」は言い過ぎました。弾性力の、もう一段下の、例えば分子間引力とか電磁力と同レベルからの物理的説明だったのです。（しかし力とは何か根源的な理由には大変興味があります）。

＞、EPRパラドックスとベルの不等式
この件、すこし調べたのですが自分の力では手に負えません。しかしいろいろ想像するのは楽しいので時間をかけて紐解きたいと思います。

＞「根源的な説明」とは「第一原因を問う」となり、たぶん、神がこの世を創造したところまで踏み込む
このまえＮＨＫで、この世界は１０次元以上からなり、その中でエネルギーの紐状のものが振動し、ある振動ではクウォーク、別の振動ではニュートリノという素粒子が作られた。何種類もの宇宙存在の可能性、というような番組が放送されていました。
宇宙人が早く地球に来てほしいです。もう来ているかも知れませんが。

回答No.1

Saturn5

正確にはバネの伸びと力は比例しませんよ。
弾力のある物体で、歪みの大きさと力の大きさが比例するのは
ごく初期の段階だけです。

バネの場合は非常に長い鋼線をコイル状に巻いた物です。
バネの長さ辺りの伸びは大きく見えますが、鋼線としての
長さ辺りの歪みは非常に小さなものです。
ですから、歪みの大きさと力の関係において、初期の
比例関係が使えるのです。

角度が小さければ、ｓｉｎθ≒ｔａｎθが使えるのと同じです。
鋼線を伸ばして、直線と仮定してください。
ごくわずかな歪みで先端部は大きく変化するのがわかります。

お礼

早々のご回答ありがとうございました。また大変興味深く、意味深いご指摘ありがとうございました。ご回答を見てこんな風に思いました。
「もしある物理現象が曲線の式で表現できたら、各点では局所的に直線に近似されるので、その点の近辺は比例現象である。数多くの物理現象は局所的には比例を呈示」
例えば落下距離は大局的には時間の２乗に比例ですが局所的には、0.0001秒の間では確かに比例しています。
すっきりしました。ありがとうございました。