いまさら ０／０＝１ ？

質問

記号の意味から考えると
　0/0 = 0 ÷ 0
となる。除算は逆数を掛けることだから
　0 ÷ 0 = 0 × 1/0
となる。逆数とは
　a × b = 1
となる場合に、b は a の逆数だと定義されてるから
　0 × 0/1 = 1
となる。よって
　0/0 = 0 × 1/0 = 1
である。

この証明が間違えているのは、どの部分でしょうか？

回答No.25

mitoneko · ベストアンサー

No.23です。
＞私は、既存の四則演算体系に 1/0 を添加できると言ってる訳ではありません。
＞もちろん、その方がいいから、色々と証明は提示しましたが。

　残念ながら、前段と後段では、別々の事を言ってますね。
　まず、前段。
　それが前提であれば、0/0 = 0 × 1/0 = 1　は、あなたが提示された数体系及び演算体系において真です。ちなみに、質問の証明も間違えている部分は無いでしょう。
　あくまで、あなたが提示された数体系においてのみ適用される定理です。
　これからも、あなたの数体系を豊かにはぐくんでください。
　以上終わりです。

　さて、後段になると、話が変わります。
　普通そうしたいですよね。自分の勝手な数体系においてのみなり立つ定理なんて、その数体系に汎用性が無ければ、おもしろくないですもの。
　そして、あなたのお礼の文書の最終段に繋がります。
＞私としては、既存の四則演算体系のどこと矛盾することになるのか、その点が知りたいですね。

　矛盾することは、私のNo.２３でも、簡単に立証しておきました。
　既存の有理数体Ｑにおいては、０の除算が定義不可能であることを別の面から、追っておきましょう。
　有理数体Ｑにおける加法の単位元０は、乗法において、特別な挙動を示します。

　つまり、、αを加法の単位源０にした時、Ｑ内の任意のｎにおいて、
　α×n = 0　　　・・・・　（１）
　となります。これは、明らかです。（これが明らかでない、又は、間違っている数体系であれば、この論議はここで終わりです。何でも、好きに定義して好きな定理にすればよろしい。しかし、既存の有理数体Ｑにおける乗算においては、これは真です。）

　さて、除算は、乗算の逆演算として定義されます。（除算が乗算の逆演算で無いと定義するなら、それは、有理数体Ｑの話ではありませんので、議論はここで終わり。この回答の前段に戻ります。）
　つまり、有理数体Ｑの除算の定義は、
　ｂ　÷　ａ　=　α と表記した時、
　ａ　×　α　＝　ｂ　を満たすαを求めることです。
　ここで、もし、ａが零であれば、（１）より、この定義式では、ｂは０以外の数はあり得ないし、その場合、アルファは、有理数Ｑの全ての要素において、式は成立します。
　これでは、除算が、意味をなしません。
　これが、有理数体Ｑにおいて、０割を排除する理由です。

　つまり、「既存の四則演算体系において、何が矛盾しているか」という質問に関しては、そもそも０割を定義しようとすることが矛盾しているとなります。
　除算の定義を書き換えれば、０割も定義できる除算も作れるかもしれませんが、少なくとも、それは、既存の四則演算体系ではありません。

　０割を定義した演算体系を作るなら、作れば良い。しかし、それは、有理数体Ｑを基礎とした、一般的な四則演算体系ではありません。もちろん、それを基礎とした全ての定理はもう一度再構築する必要があります。
　そうして作られた数学に例が無いわけではありません。例えば、ユークリッド幾何学の平行線の公準を否定して作られた非ユークリッド幾何学は、ちゃんと存在しますし、非常に豊かな体系です。でも、非ユークリッド幾何学を始めた人は、ちゃんと全ての定理を一から構築し直しています。
　そして、大事なことは、その場合、ユークリッド幾何学の世界での話をしているのか、非ユークリッド幾何学の世界での話をしているのかを明確にすることです。ユークリッド幾何学の話をしているふりをして、非ユークリッド幾何学の話を持ち込んではいけないと言うことです。

お礼

> それが前提であれば、0/0 = 0 × 1/0 = 1　は、あなたが提示された数体系及び演算体系において真です。ちなみに、質問の証明も間違えている部分は無いでしょう。
> 　あくまで、あなたが提示された数体系においてのみ適用される定理です。

1/0 という記号を使うからには
　0 × 1/0 = 1
という式は真でなければならない。私はそう考えただけです。
（逆に、それが成立しない体系は、思い浮かべることができません）
それが成立する数体系は存在するだろうし、答える方も、それを前提に答えたのでは？

もし、既存の体系に 1/0 が存在すると勘違いされた方がいたのなら、説明不足を謝罪します。

> さて、除算は、乗算の逆演算として定義されます。

その場合、0 の逆数には
　a × 0 × 1/0 = a
が成立するという条件が必要となります。
　a × 0 = 0
なので、それは成立する筈もなく、逆演算とはなりません。
たとえ 0 に逆数が存在したとしても。
よって、質問文での
　0 ÷ 0 = 0 × 1/0
という変形が行えないことは分かりました。

では、０割が出てこない後半の
　0 × 1/0 = 1
は問題ありませんか？

回答ありがとうございました。

回答No.9

noname2727

1/0の逆元とは本当に0なのでしょうか？

２/0の逆元も0？3/0の逆元も0？

お礼

> 1/0の逆元とは本当に0なのでしょうか？

0 の逆元を 1/0 とした以上、1/0 の逆元は 0 になります。

> ２/0の逆元も0？3/0の逆元も0？

そんな数まで増やした憶えはないですが。

でも、記号的には
　0 × 1/0 = 1
なら
　0 × 2/0 = 2
とする必要がありますね。
したがって、もし 2/0 を増やしたとしても、逆元は存在しません。

そもそも
　1/0 + 1/0 = 2/0
とはならないので、追加するのは1/0だけが良さそうです。

回答ありがとうございました。

回答No.8

noname2727

>>また、a を実数とした時
>>　a × 1/0 = 1/0
>>　a + 1/0 = 1/0

とはほんとでしょうか？

aは単位元であり零元ということですか？

こういったことは成立しないと思いますが・・・

お礼

> a × 1/0 = 1/0

条件が抜けてました。a ≠ 0 です。

> aは単位元であり零元ということですか？

そう考えるより、1/0 が吸収元だと言うべきでしょうか。

回答ありがとうございました。

回答No.7

Tacosan

「1/0」という「数」を付け加えたとして, 演算規則はどうなりますか?

お礼

明らかなのは、
　0 × 1/0 = 1
のみです。

交換法則は成立するとして問題ありませんが、結合法則や分配法則は成立しません。

また、a を実数とした時
　a × 1/0 = 1/0
　a + 1/0 = 1/0
などとするのも問題ないと思います。

回答ありがとうございました。

回答No.6

tanuki4u

０　に　ある　X　を　掛けたら　０　になる。
この時　X　は　何か？

どんな　X　でも　０を掛けると　０　になるので、　X　は　どんな数でよい。

これが　X　は　不定　（定まらない）という意味です。

＝＝＝
a × b = 1
となる場合に、b は a の逆数だと定義されてるから
↓
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E6%95%B0

逆数 (ぎゃくすう, multiplicative inverse, reciprocal) とは、ある 0 でない数に対し、乗算 (掛け算) した結果が 1 になる数である。すなわち、 0 でない数 a に対する逆数は通常、1/a あるいは　a^(-1)と表される。
以上引用

逆数の理解が間違っています。

では、なぜ　０でない数という制限を付けるのか？
それは　０で割ると　不定になる　数が定まらないからです。

０　×　５　＝　０
０　×　１　＝　０
というように、どんな　X　でも成立するので

０／０　が　５　でも　１　でも・・・任意すのすべての数で成立することになる。

＝＝＝＝閑話休題

証明というのは、元なる定理から始まります。
定理は、公理から始まります。

公理の証明はありません。

0/0=1
というのを公理として数学の体系が作れるのであれば、　0/0=1 であっても何ら問題ありません。
0/0=1 を証明不要な公理としているからです。

数学の歴史では、ユークリッドの公理を元に数学の体系が作られてきました。
疑問に思う人もいるもので、特に五番目の平行線公準に関しては、気持ち悪いと思う数学者がけっこういた。
※　何が気持ちわういというと、公準の説明がまわりくどいというもの。
なんとか他の公準と同じように単純化出来ないかと思っていたら、いっそいらねーじゃんと言い出す奴が出てきた。
そうして生まれたのが、非ユークリッド幾何学です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6

んで、数学大好き人間たちの単なる言葉遊び、趣味の世界じゃん。と思っていたら宇宙という実在するものを説明するのには、リーマン幾何学という非ユークリッド幾何学が必要だというのがわかった。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6

なので、質問者が　0/0=1 を元にして新しい数学体系を作っても数学的には何ら問題ありません。

お礼

> どんな　X　でも　０を掛けると　０　になるので、　X　は　どんな数でよい。

> これが　X　は　不定　（定まらない）という意味です。

除算の定義が異なると、結果は違ってくるようですね。
　0/0 = 0 × 1/0
には問題がありそうです。

でも、
　0x = 0
という方程式の答を 0/0 と書いたら、明らかにバツを貰います。
それとも、あなたはマルにしますか？

> 逆数 (ぎゃくすう, multiplicative inverse, reciprocal) とは、ある 0 でない数に対し、乗算 (掛け算) した結果が 1 になる数である。すなわち、 0 でない数 a に対する逆数は通常、1/a あるいは　a^(-1)と表される。

もし 0 の逆数を定義したとしても、この表記の仕方は守るべきだと思います。

> 0/0=1
> というのを公理として数学の体系が作れるのであれば、　0/0=1 であっても何ら問題ありません。
> 0/0=1 を証明不要な公理としているからです。

作れないという証明はできませんよね？

だから、誰かがそういう数学体系を作ったとした時、0/0=1 となってしまうのかな、と思います。

回答ありがとうございました。

回答No.5

rinkun

少なくとも
　0 × 0/1 = 1
は間違ってますよね。
　0 × 1/0 = 1
の積りですか?
そうだとしても、
　定義：a × b = 1となる場合に、b は a の逆数
は『そのようなbが存在するとき』という条件がありますから
そもそも1/0は存在しないというのが正しいです。

また「除算は逆数を掛けること」は定義ではありませんね。
除算a/b=xは、b×x=aとなるxが一意に定まるときにxで定義されます。
a=b=0のときは、xがどんな数でもb×x=aが成り立ってしまいます
から、xは不定になります。
一意に定まらないので除算は定義できません。

お礼

> 少なくとも
> 　0 × 0/1 = 1
> は間違ってますよね。

その通りです。大変失礼しました。

> 　定義：a × b = 1となる場合に、b は a の逆数
> は『そのようなbが存在するとき』という条件がありますから
> そもそも1/0は存在しないというのが正しいです。

たとえば、「実数で考えるなら」という条件が付いているなら、その通りです。
でも、「1/0という数を付け加えてはいけない」という決まりはありますか？

> また「除算は逆数を掛けること」は定義ではありませんね。
> 除算a/b=xは、b×x=aとなるxが一意に定まるときにxで定義されます。

定義と言っても、複数あることがありますから、別の定義が存在することが、この定義の否定にはならないと思います。

回答ありがとうございました。

回答No.4

shuu_01

fusem23 さん、中学生か高校生かわからないけど、

「極限」、lim を習うようになると、

イヤというほど 「限りなく０に近づく数字を限りなく０に近づく数字で割る」問題を解かされるよ

お礼

0 という数を
　lim[x→∞]1/x
と定義するなら、
　lim[x,y→0]x/y
が不定になるのは分かります。

だから、結論が間違いなのは良いとして、
私が知りたいのは、どこで間違えたかです。

回答ありがとうございました。

回答No.3

hanzo2000

0/0は、
「ゼロを掛けたら答えがゼロになる数」ですから
どんな数でも当てはまります。
答えが定まりません。

つまり、答えは「不定」と定義されます。

定まらない、という意味では、
あなたが
0/0=1
だと思いたいならば、あなたの中にそういう答えがあってもいい、
といえるのかもしれません。

証明としては、皆さんがおっしゃるとおり正しくありません。

お礼

「ゼロを掛けたら答えがゼロになる数」とは、
　0x = 0
という方程式の解ですね。
それが 0/0 と等しいとは、どういう証明によって得られますか？

回答ありがとうございました。

回答No.2

shuu_01

＞　となる。除算は逆数を掛けることだから
＞　　0 ÷ 0 = 0 × 1/0

０ で割っちゃいいけないのに、ここでまた
０ で割ってて、間違いです

お礼

０で割ってはいけない理由を明記してください。

回答ありがとうございました。

回答No.1

shuu_01

０ で割っちゃいけないので、最初から間違えてます

お礼

何故ですか？
理由があるなら、そうだと思いますが。

回答ありがとうございました。