いまさら ０／０＝１ ？

質問

記号の意味から考えると
　0/0 = 0 ÷ 0
となる。除算は逆数を掛けることだから
　0 ÷ 0 = 0 × 1/0
となる。逆数とは
　a × b = 1
となる場合に、b は a の逆数だと定義されてるから
　0 × 0/1 = 1
となる。よって
　0/0 = 0 × 1/0 = 1
である。

この証明が間違えているのは、どの部分でしょうか？

回答No.25

mitoneko · ベストアンサー

No.23です。
＞私は、既存の四則演算体系に 1/0 を添加できると言ってる訳ではありません。
＞もちろん、その方がいいから、色々と証明は提示しましたが。

　残念ながら、前段と後段では、別々の事を言ってますね。
　まず、前段。
　それが前提であれば、0/0 = 0 × 1/0 = 1　は、あなたが提示された数体系及び演算体系において真です。ちなみに、質問の証明も間違えている部分は無いでしょう。
　あくまで、あなたが提示された数体系においてのみ適用される定理です。
　これからも、あなたの数体系を豊かにはぐくんでください。
　以上終わりです。

　さて、後段になると、話が変わります。
　普通そうしたいですよね。自分の勝手な数体系においてのみなり立つ定理なんて、その数体系に汎用性が無ければ、おもしろくないですもの。
　そして、あなたのお礼の文書の最終段に繋がります。
＞私としては、既存の四則演算体系のどこと矛盾することになるのか、その点が知りたいですね。

　矛盾することは、私のNo.２３でも、簡単に立証しておきました。
　既存の有理数体Ｑにおいては、０の除算が定義不可能であることを別の面から、追っておきましょう。
　有理数体Ｑにおける加法の単位元０は、乗法において、特別な挙動を示します。

　つまり、、αを加法の単位源０にした時、Ｑ内の任意のｎにおいて、
　α×n = 0　　　・・・・　（１）
　となります。これは、明らかです。（これが明らかでない、又は、間違っている数体系であれば、この論議はここで終わりです。何でも、好きに定義して好きな定理にすればよろしい。しかし、既存の有理数体Ｑにおける乗算においては、これは真です。）

　さて、除算は、乗算の逆演算として定義されます。（除算が乗算の逆演算で無いと定義するなら、それは、有理数体Ｑの話ではありませんので、議論はここで終わり。この回答の前段に戻ります。）
　つまり、有理数体Ｑの除算の定義は、
　ｂ　÷　ａ　=　α と表記した時、
　ａ　×　α　＝　ｂ　を満たすαを求めることです。
　ここで、もし、ａが零であれば、（１）より、この定義式では、ｂは０以外の数はあり得ないし、その場合、アルファは、有理数Ｑの全ての要素において、式は成立します。
　これでは、除算が、意味をなしません。
　これが、有理数体Ｑにおいて、０割を排除する理由です。

　つまり、「既存の四則演算体系において、何が矛盾しているか」という質問に関しては、そもそも０割を定義しようとすることが矛盾しているとなります。
　除算の定義を書き換えれば、０割も定義できる除算も作れるかもしれませんが、少なくとも、それは、既存の四則演算体系ではありません。

　０割を定義した演算体系を作るなら、作れば良い。しかし、それは、有理数体Ｑを基礎とした、一般的な四則演算体系ではありません。もちろん、それを基礎とした全ての定理はもう一度再構築する必要があります。
　そうして作られた数学に例が無いわけではありません。例えば、ユークリッド幾何学の平行線の公準を否定して作られた非ユークリッド幾何学は、ちゃんと存在しますし、非常に豊かな体系です。でも、非ユークリッド幾何学を始めた人は、ちゃんと全ての定理を一から構築し直しています。
　そして、大事なことは、その場合、ユークリッド幾何学の世界での話をしているのか、非ユークリッド幾何学の世界での話をしているのかを明確にすることです。ユークリッド幾何学の話をしているふりをして、非ユークリッド幾何学の話を持ち込んではいけないと言うことです。

お礼

> それが前提であれば、0/0 = 0 × 1/0 = 1　は、あなたが提示された数体系及び演算体系において真です。ちなみに、質問の証明も間違えている部分は無いでしょう。
> 　あくまで、あなたが提示された数体系においてのみ適用される定理です。

1/0 という記号を使うからには
　0 × 1/0 = 1
という式は真でなければならない。私はそう考えただけです。
（逆に、それが成立しない体系は、思い浮かべることができません）
それが成立する数体系は存在するだろうし、答える方も、それを前提に答えたのでは？

もし、既存の体系に 1/0 が存在すると勘違いされた方がいたのなら、説明不足を謝罪します。

> さて、除算は、乗算の逆演算として定義されます。

その場合、0 の逆数には
　a × 0 × 1/0 = a
が成立するという条件が必要となります。
　a × 0 = 0
なので、それは成立する筈もなく、逆演算とはなりません。
たとえ 0 に逆数が存在したとしても。
よって、質問文での
　0 ÷ 0 = 0 × 1/0
という変形が行えないことは分かりました。

では、０割が出てこない後半の
　0 × 1/0 = 1
は問題ありませんか？

回答ありがとうございました。

回答No.19

masa2211

結合法則や分配法則が成立しない新しい体系で考えているということを質問文に記述していない点が間違い。
そういうことが書いていない以上、整数で考えるか、実数で考えるか、複素数で考えるかはとにかく、結合法則や分配法則が成立している従来の体系で考え、「ゼロ割りは定義されていなところ、勝手に1/0に限り1、と定義している」とならざるを得ません。

なお、分配法則、結合法則が成立しない体系の場合、
0＾0＝0×0＾（0-1）　　が成立する保証が得られないため、
0＾0＝1ということは証明できないと思う。

お礼

> 結合法則や分配法則が成立しない新しい体系で考えているということを質問文に記述していない点が間違い。

実数でも虚数でもない数を定義しているのは、誰が見ても明らか。
結合法則や分配法則が成立しないのは、その結果に過ぎません。
質問文に記述してようがしてまいが、そんなことはすぐ分かることです。

> そういうことが書いていない以上、整数で考えるか、実数で考えるか、複素数で考えるかはとにかく、結合法則や分配法則が成立している従来の体系で考え

1/0 という記述を見て、実数だとか考えたとしたら残念です。

> 勝手に1/0に限り1、と定義している」とならざるを得ません。

定義は、元々勝手にするものです。

> なお、分配法則、結合法則が成立しない体系の場合、
> 0＾0＝0×0＾（0-1）　　が成立する保証が得られないため、
> 0＾0＝1ということは証明できないと思う。

分配法則なり結合法則は、演算毎に成立するか判断するものです。
定義や計算規則があって、それにより法則が証明されます。

それはべき乗の定義式ですから、証明する必要がないものです。
保証という意味では、定義こそが証明であり、保証となります。

回答ありがとうございました。

回答No.18

noname2727

では、あなたが定義した演算がちゃんと定義できていることを示してください。

それができたなら1/0というものを含めたものを考えることができるかもしれません。

しかしやはり1/0＝-1/0というものは成立するんすかね？

定めたといわれても、定め方に問題があるようなきがするんですけど・・・

現実的に考えたら1/0って∞みたいなもので、-1/0は-∞これが等しいとは到底思えないのですが・・・

お礼

> 現実的に考えたら1/0って∞みたいなもので、-1/0は-∞これが等しいとは到底思えないのですが・・・

1/0 と ∞ は別ものです。
　lim[x→+0]1/x = ∞
　lim[x→-0]1/x = -∞
であり、
　0 × 1/0 = 1
で定義される値とは、まるで異なります。前者の定義からは
　0 × ∞ = lim[x→+0]0/x = 0
となるのは、明らかですから。

なお、大小の区別があるのは実数まで。
それに何か加えると、a < b のような式は無意味になります。

演算の定義は既に示しました。
四則演算すべてについて、1/0 を含めたすべての組み合わせについて示しています。
あなたのいう「ちゃんと」の意味は分かりません。
多分、あなたにも説明できないものなのでしょうね。

回答ありがとうございました。

回答No.17

hanahana2014

数学の質問コーナーに　哲学の問題を質問しても　無意味です。

お礼

私は、証明問題に誤りがないか確認してるだけです。

回答ありがとうございました。

回答No.16

CC_T

0に何を掛けても積は0となり、ゼロに逆数は存在しません。
　0 × 1/0 = 1
ではなく、
　0 × 1/0 = ０
ですよ。

お礼

どんな数も、２乗したら正だから、虚数は存在しません。
…と言ってるようなものですね。

ルールは、定義によって決められるものだから、
　0 × 1/0 = 1
と決めれば済むものです。

逆に、
　0 × 1/0 = 0
とした場合に、それは逆数の定義に反します。
そんな数を 1/0 という記号で表してはいけないと思います。

新しい数を追加するに際し、それによって従来のルールがどうなるか、
いや、どうするか、というのは、よく考えて使う必要があります。

回答ありがとうございました。

回答No.15

noname2727

では、

1/0×1/0＝1/0

この両辺を1/0で割ると、

1/0＝1

という式が成立してしまいます。

新たに付け加えた数が1という既存の数となるのはおかしいですよね。

除法も明らかに定義出来ると言っていますがそう明らかなことでしょうか？

また

a×1/0＝1/0　a≠0も少し怪しい気がしてきました。

(-1)×1/0＝-1/0となる気がします。

お礼

> 1/0×1/0＝1/0
>
> この両辺を1/0で割ると、
>
> 1/0＝1
>
> という式が成立してしまいます。

割るという行為は、逆数を掛けることですよ。
両辺を割った値は
　1/0×1/0×0＝1/0×0
ですから、
　1＝1
となるだけです。

なお、掛ける行為は、右からしか出来ません。
左から掛けたいのなら、
　0×(1/0×1/0)＝0×1/0
と括弧を付ける必要があります。この時も同じく
　1＝1
となります。

> (-1)×1/0＝-1/0となる気がします。

＃１０で減算を定義してますが、その中で
　-1/0 = 1/0
としています。だから、同じものです。

回答ありがとうございました。

回答No.14

中村 拓男（@tknakamuri）

証明に1/0を使うなら1/0を定義するところから始めないといけない。
通常の数体系では1/0は未定義ですから、現在の数体系とは異なる
新しい数体系ができるかも。

でも、仮にそんなものを構築しても、今までの演算規則が

3x0÷0=(3×0)÷0=0÷0=1
3x0÷0=3x(0÷0)=3×1=3

て具合に崩壊してしまうので、全く新しい演算規則群も
必要ですね。まあ、Oから体系を組み直してみて下さい。
無予盾で有用な体系が構築できれば何か意味が有るかもしれません。

お礼

> でも、仮にそんなものを構築しても、今までの演算規則が
>
> 3x0÷0=(3×0)÷0=0÷0=1
> 3x0÷0=3x(0÷0)=3×1=3
>
> て具合に崩壊してしまうので、

結合法則は、八元数でも成立しないので、あまり気にはなりません。
それに、体系の構築に、今回興味はありません。
可能だということが分かりさえすれば十分。

　0 × 1/0
とは何になるか、不定となるのかどうか、その点を考えてました。
　0^0 = 0 × 0^-1 = 0 × 1/0 = 1
となります。1/0 が存在する場合は。

それが確認できれば良かったんです。

回答ありがとうございました。

回答No.13

kokoko34400

質問者の言うとおり、０／０＝１が成り立つと定義すれば、結合法則や分配法則が成立しない新しい体系が生まれる。

この体系の上では質問者は間違えていない。

あくまでこの体系の上では、だが。

お礼

この体系に、あまり意味がないのは分かってるつもりです。
でも、0 に逆元を与えると、そういった体系しか作れないみたいですね。

今回の結果は、0/0 を
　0x = 0
の解ではなく、
　0/0= 0 × 1/0
としたことが理由ではないかと考えます。

前者の解釈が正しいとしたなら、話は簡単なのですが、
　x = 0/0
という回答が正しいと言えません。
それを基にした体系が、私には作れなかったからです。

ということで、明らかな間違いはまだ指摘されてないようですね。

回答ありがとうございました。

回答No.12

noname2727

No10の補足

0×1/0＝1
1/0×1/0＝1/0
a×1/0＝1/0

という演算は果たしてwelldefinedなのでしょうか？

例えば、2番目の関係式に左と右から0をかけたものを左から計算します。

左辺＝0×1/0×1/0×0＝1×1/0×0＝1/0×0＝1

右辺＝0×1/0×0＝1×0＝0

これは矛盾

だからこの演算は演算としてwelldefinedではないんですね。

ちゃんと定義できていないものを考えても仕方ないので0の逆元として1/0を勝手に取ることはできないと思います・

お礼

私は既に、＃７にて結合法則は成立しないと明言しました。

よって、左から０を掛けただけの式
　0×1/0×1/0＝0×1/0
ですら、成立しません。

welldefinedをどういう意味で使ってるかは分かりませんが、
今回の演算は、そういうものです。

それとも、左右から０を掛けることに特別な意味があるのですか？

回答ありがとうございました。

回答No.11

shuu_01

＞　０で割ってはいけない理由を明記してください。

解答してくれた方に質問したら、叱られちゃうんだよ

僕は今日、水泳スレですごい叱られちゃいました (;_;)

Google で「ゼロで割ってはいけない理由」と検索すると、

約 1,560,000 件 hit しました

全部は読み切れないと思いますが、最初の１ページとか

読んだらわかるかも

僕は説明できる自信ありません m(_o_)m

お礼

0 で割ってはいけない理由は複数存在すると思います。
たとえば、それは実数ではない、などです。

でも、私は実数だという条件を付けている訳ではないし、
結合法則や分配法則が成立する体と呼ばれる体系だとも言っていない。

私はほぼ何も条件を付けていませんから、それでも割ってはいけない理由があるのかどうか、という点が知りたいのです。

割ってはいけない理由も文脈で変わると思うので、機械的な回答は遠慮します。
また、数学において、絶対してはいけないものは、それほど存在しないと思います。

回答ありがとうございました。

回答No.10

noname2727

no.8の補足

確かに成立しそうですね、勘違いしてました

しかし、やはり0　×　1/0　＝　1　は明らかでないですね。

1/0の逆元は0とは限りませんね

1/0を単なる数として扱うので1/0を含めた演算をまず定義する必要があります

×も÷も＋も－も実数のものとは違う演算として再定義し直さなければいけません。

どう定義したらよいかは不成立なことを考えているので難しいです。

そう簡単な話ではありません。

お礼

> 1/0を単なる数として扱うので1/0を含めた演算をまず定義する必要があります

定義するのは、そう難しいことではありません。
二項演算としてなら、乗算は a ≠ 0, a ≠ 1/0 として
　0 × 0 = 0
　0 × 1/0 = 1
　1/0 × 1/0 = 1/0
　a × 0 = 0
　a × 1/0 = 1/0
としてやれば、逆数の逆数は元の数になります。
逆数は１対１で存在しますので、除算は簡単に定義できます。

加算では a ≠ 1/0 として
　1/0 + 1/0 = 1/0
　a + 1/0 = 1/0
でいいでしょう。減算は -1/0 = 1/0 と定義すれば
　1/0 - 1/0 = 1/0
　a - 1/0 = 1/0
とすることができます。ただし、1/0 の加法逆元（反数）は存在しません。

なお、ここに挙げたのは多分一例で、他にもあると思います。

回答ありがとうございました。