院試の問題（数学）

質問

ln→∞でn√2（2のn乗根)→？　？を求めよ、という京大の院試問題があるのですが、
これは2の1/n乗と考えて、∞にしたら1/∞=0だから、2^0=1、という安直な解法でいいのでしょうか。

ちなみにhttp://www.amp.i.kyoto-u.ac.jp/のH26の基礎数学Iの(ii)です。

はさみうちでもできますが、(iv)でうまくはさみうちが思いつかず、k^(1/n)→0としたい、けどこれでいいのかな、となりまして・・・

回答No.2

ask-it-aurora · ベストアンサー

(iv)の解法は(i)のそれと同じだと思いますが…．そもそも(i)が本当に解けていますか？

以下では二項係数をC(p, q)などと表すことにします．

(i)の確認： 二項定理から
(1 + 1/n)^n = Σ_{p + q = n} C(p, q) 1^p (1/n)^q
≧ C(n, 0) 1^n (1/n)^0 + C(n, 1) 1^(n - 1) (1/n)^1 = 2
で終わりです．

(iii)： c := max(a, b)とおく．c > 0 と(ii)の結果より
0 < (a^n + b^n)^(1/n) - c ≦ (2c^n)^(1/n) - c = c |2^(1/n) - 1| → 0 (n → ∞).
よってlim(a^n + b^n)^(1/n) = c．

(iv)：(iii)と同様に c := max(a[1], ...，a[k])とおくとc > 0，k ≧ 3より
0 < (a[1]^n + … + a[k]^n)^(1/n) - c ≦ c |k^(1/n) - 1|
を得る．よってk^(1/n)→1(n → ∞)を示せばよい．

(発見的に解くため，(i)のマネをして)不等式
(x + y/n)^n ≧ x^n + x^(n - 1)y
が成り立つのでx^n + x^(n - 1)y = kとなる適当な組(x, y)を取ればよい．(x, y) = (1, k - 1)とおけば，
(1 + (k-1)/n)^n ≧ k
よりk^(1/n) ≦ (1 + (k-1)/n)を得る．
## ふつうはこういう下準備はコッソリやって唐突に(1 + (k-1)/n)^(1/n)を持ち出すと思いますが．
1 < 3 ≦ k より下からの評価も得られてはさみうちの原理からk^(1/n)→1(n → ∞)とわかる．

よって問題の等式は示された．

お礼

(i)はとけたのですが、(iv)に応用できなかった自分の思考力に絶望しています（笑）
うまくいえませんが、1＋1/nの1と1を足して2になってるという気づきがなく、x＋y/nのx＋yを足してkになることを用いるという発想ができませんでした。

詳しいご回答ありがとうございました。

回答No.1

ask-it-aurora

直前の問題を見ると
2 ≦ (1 + 1/n)^n
という不等式があるので素直に
2^(1/n) ≦ 1 + 1/n
と上から評価すればいいんじゃないですか？

自明な式1 < 2 = (2^(1/n))^n を使って下からの評価はかんたんに得られて，はさみうちの原理から極限が1とわかる，でいいと思います．

補足

しかしそれでは4番目の問題をどう解けばいいのか分からないのです・・・